Verma模(Verma module)是李代数表示理论中的基本研究对象,其名取自Daya-Nand Verma。Verma模之间的态射相应于旗流形上的不变微分算子。
可用Verma模来证明以下命题:最高权为
的最高权表示的维数有限,若且仅若
是支配整权(dominant integral weight)。
Verma模的定义[编辑]
设:
为一域;
,为
上一半单李代数;
为其泛包络代数
为其一Borel子代数
为其泛包络代数
为其一嘉当子代数
为一固定之权。
为
上的一维向量空间, 赋与
-模结构:
的作用为“乘以
”,正根的作用为零。由于
是一左
-模,他同时亦是一左
-模。
- 由Poincaré-Birkhoff-Witt定理,
有一自然右
-模结构。由于
亦是一左
-模, 所以是
-双模。
- 定义(最高权为
之)Verma模 为
![{\displaystyle M_{\lambda }={\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\otimes _{{\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})}F_{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93278662f4bc7983c3fe96b54b8b5d6d9418769e)
此自然地是一左
-模。从Poincaré-Birkhoff-Witt定理可知:
,作为一向量空间,同构于
![{\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}_{-})\otimes _{F}F_{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2401d329d0218f5055608ac9d5fed8dd544ec2dc)
其中
为
之负根生成之子李代数。
基本性质[编辑]
作为
-模,Verma模是一最高权表示,即整个模由一最高权向量生成。此最高权向量是
的像(其中前
为
之单位,后
为域
之单位元);其权为
。
Verma模是weight modules,即
是其权子空间之直和。每一权子空间
是有限维的,其维度是
权
写成正根之和之方法之数(参见Kostant partition function)。
Verma模有一重要性质:若
为任一最高权模,其最高权为
,则存在一
满射:
。换言之,任何最高权模都是
的商模。
内存在唯一极大子模,而
与此子模之商是不可约的。
Verma模
本身不可约 若且仅若 当其最高权
分解成基本权(fundamental weight)之和时,每一系数都不是
。
称Verma模
为regular,若其最高权λ位于一支配权
之仿射Weyl轨迹上。换言之,存在Weyl群的元素w,使
,
其中
是Weyl群的仿射作用。
称Verma模
为singular,若λ的仿射轨迹上无支配权。此时,存在权
使
落于基本Weyl室之墙上;(其 中δ为各基本权之和)。
Verma模之间的态射[编辑]
设
为两权。若存在态射
,
则
的Weyl群
的
仿射作用
必然能把
带到
。此为Harish-Chandra无限小中心特征标定理之一推论。
每一Verma模 态射都是单射。态射空间之维度
![{\displaystyle dim(Hom(M_{\mu },M_{\lambda }))\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5bac1d63a8481be27a1fd16cfe92fdbc1588097)
其中
为任何两权。因此,存在一非零态射
若且仅若
同构于
的一(唯一)子模。
Verma模态射的完整分类来自I.N.伯恩斯坦、I.M.盖尔芳特 与S.I.盖尔芳特 的工作[1]与N. Verma的工作[2]。简言之,
存在非零态射
若且仅若 存在一串权
![{\displaystyle \mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c5330af355c4a6118539955d60b4ab43e3a95d4)
使得存在正根
使
(其中
是根反映(根系),而
是所有基本权之和)且对每一
,
为一自然数(其中
是根
之对偶根(coroot))。
若Verma模
与
俱为regular,则仅存支配权
与Weyl群元w, w′使
- P
![{\displaystyle \mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d69a691652f35bd7855a6126e52169dd9fe485d)
而且
![{\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87c53f4189495d69a15720d02dd2025c85f5f2a)
其中
为Weyl群的仿射作用。设此等权是整权(integral weight)。存在非零态射
![{\displaystyle M_{\mu }\to M_{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab2e374ccce44390443e55b71389275fe233299b)
若且仅若,在Weyl群W 的Bruhat次序中,
。
Jordan-Holder序列[编辑]
设
![{\displaystyle 0\subset A\subset B\subset M_{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3e9873478fa4a0f07b8ae6afe85fd66a6b7c4f)
为一
-模序列,其中B/A为不可约表示,其最高权为μ。则存在非零态射
。
推论:
设
为二最高权表示。若
![{\displaystyle V_{\mu }\subset V_{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da972c817d1fb87f29e00bb19cfd9e605564e37c)
则存在非零态射
。
伯恩斯坦-盖尔芳特-盖尔芳特 分解[编辑]
设
为李代数
的一有限维不可约表示,其最高权为λ。我们已知:存在非零态射
![{\displaystyle M_{w'\cdot \lambda }\to M_{w\cdot \lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a148e0f1a70a737678bfde2b54ca84a2198dc483)
若且仅若,在其Weyl群的Bruhat次序中,
。
以下定理描述如何分解
成Verma模的正合序列。
(此定理出现于 伯恩斯坦-盖尔芳特-盖尔芳特1975年的论文[3]):
存在由
-态射组成的正合序列
![{\displaystyle 0\to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=n}M_{w\cdot \lambda }\to \ldots \to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=2}M_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=1}M_{w\cdot \lambda }\to M_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310ea08305e895728a70d0ffc85e929955191f43)
其中n为Weyl群最长元之长度。
一般研究员简称其为“BGG分解”。
广义Verma模亦有类似分解。
近来有人研究此等分解之某些特例,以助理解抛物几何(parabolic geometries,嘉当几何之特例)上之不变微分算子。嘉当几何的定义依赖于一李群G与其抛物子群P。参阅[4]、[5]与[6]。
- Knapp, A. W. Lie Groups Beyond an troduction. Second Edition. (2002), page 285.
- Dixmier, J., Enveloping Algebras, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1977
- Humphreys J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, 1980
- Roggenkamp K., Stefanescu M., Algebra - Representation Theory, Springer, 2002
- ^ Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Structure of Representations that are generated by vectors of highest weight, Functional. Anal. Appl. 5 (1971)
- ^ Verma N., Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras}, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968)
- ^ Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Differential Operators on the Base Affine Space and a Study of g-Modules, Lie Groups and Their Representations, I. M. Gelfand, Ed., Adam Hilger, London, 1975.}
- ^ Eastwood M., Variations on the de Rham complex, Notices Amer. Math. Soc, 1999 - ams.org
- ^ Calderbank D.M., Diemer T., Differential invariants and curved Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001158, 2000 - arxiv.org
- ^ Cap A., Slovak J., Soucek V., Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001164, 2000 - arxiv.org
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