在數學中,特別是在迭代函數和動態系統領域,週期點是指被多次迭代後又映射到自身的點。這裏的迭代次數叫做週期。週期為1的週期點被稱為不動點。
設
是集合
上的自同態函數
![{\displaystyle f:X\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672b7e48a9c7c9f7b0be9a75555e0dbd87c64aaa)
若存在
,使得
![{\displaystyle \ f^{n}(x)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b17c352517dd0074354ff549fb01f98df5b039)
則
是週期為
的週期點。這裏,
是
的
次迭代。使得上式成立的最小正整數被稱為最小週期。
設
是函數
的以
為週期的週期點,若
![{\displaystyle |(f^{n})^{\prime }|\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99af0cc7f3889884ed93545725fd84a69bc0b427)
則
是雙曲週期點。若
![{\displaystyle |(f^{n})^{\prime }|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad554e6ee01a9e1cdce696b54604b35baf9f99cc)
則稱週期點p為吸引子;若
![{\displaystyle |(f^{n})^{\prime }|>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7942800efcd905a6ad70423402f11dc107a0e2ab)
則稱週期點p為排斥子。
若該週期點的穩定流形的維數為0,則稱其為源點;若不穩定流形的維數為0,則稱其為匯點;若穩定流形和不穩定流形的維數均不為0,則稱其為鞍點。
給定一個連續時間動態系統
,其中
是相空間,
是狀態轉移函數,
![{\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times X\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85fc45453d156529775a5802a1ae87d6a60bd2d3)
若存在
,
,使得
![{\displaystyle \Phi (t,x)=x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb30886eef766d872b3be119c724b342c70dccfd)
則
被稱為以
為週期的週期點,使上式成立的最小正數
被稱為最小週期。
設
是以
為週期的週期點,則對於任意實數
,
都成立。
設軌跡
經過週期點
,則該軌跡上的所有點均為週期點,且最小週期與
的最小週期相等。