在數論中,將正整數 n 的根基(英文:radical)定義為 n 的所有素因數(質因數)的積:
![{\displaystyle \displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{\scriptstyle p\mid n \atop p{\text{ prime}}}p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e961e8ca341c22d2a53fcf4352872004eb148e)
整數的根運算對簡化abc猜想的表述起到重要作用。[1]
在不與開方運算里的「根(root)」的概念混淆的情況下,也常簡稱「根」。例如我們有
![{\displaystyle 504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f74c7d396fddd75061b85b1602c051de0a8fdea)
所以504的根計算如下
![{\displaystyle \operatorname {rad} (504)=2\cdot 3\cdot 7=42}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed5f554d648eee40a7778bcfd9f1edaf78ad99c0)
所有正整數的根組成如下數列:
1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... (OEIS數列A007947).
是積性函數。
- 對於任意整數
而言,
是其最大的無平方因子數因數,故
又稱
的無平方核心(square-free kernel)。[2]截至目前為止,並無在多項式時間內計算
的無平方部分的算法。[3]
可推廣為
最大的無
次方因子數因數
,而
是一個有如下定義的積性函數:
![{\displaystyle \mathrm {rad} _{t}(p^{e})=p^{\mathrm {min} (e,t-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c380260ab713de9869969372645f6051abf24166)
及
的狀況分別由A007948和A058035列舉。
- 根基的表達式出現於abc猜想中,而這猜想表示說,對於任意的
,都有一個
,使得對於任意滿足
且互質的三元數組
、
、
而言,都有以下的關係:[1]
![{\displaystyle c<K_{\varepsilon }\,\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36ad904aa37a0e85e8cc98542fc1a13cfb27244)
- 對於任意整數
而言,有限環
的所有冪零元都是
的倍數。
- 根基有如下的狄利克雷級數:
![{\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {p^{1-s}}{1-p^{-s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {rad} (n)}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce55a52a53aa9159735241ec7a596a677184d70e)
- ^ 1.0 1.1 Gowers, Timothy. V.1 The ABC Conjecture. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2008: 681 [2020-04-08]. (原始內容存檔於2021-12-23).
- ^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A007947. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Adleman, Leonard M.; McCurley, Kevin S. Open Problems in Number Theoretic Complexity, II. Algorithmic Number Theory: First International Symposium, ANTS-I Ithaca, NY, USA, May 6–9, 1994, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science 877. Springer. : 291–322. CiteSeerX 10.1.1.48.4877
. MR 1322733. doi:10.1007/3-540-58691-1_70.