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格拉姆矩陣

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線性代數中,內積空間中一族向量 格拉姆矩陣Gramian matrix、Gram matrix 或 Gramian)是內積埃爾米特矩陣,其元素由 給出。

一個重要的應用是計算線性獨立:一組向量彼此線性獨立若且唯若格拉姆行列式(格拉姆矩陣的行列式)不等於零。

格拉姆矩陣以丹麥數學家約爾根·佩爾森·格拉姆英語Jørgen Pedersen Gram命名。

例子

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最常見地,向量是歐幾里得空間中元素,或 L2 空間中函數,比如閉區間 [ab] 上的連續函數(是 L 2([ab])的子集)。

給定區間 上的數值函數 ,格拉姆矩陣,由函數的標準內積給出:

給定一個實矩陣 A,矩陣 ATAA 的列向量的格拉姆矩陣,而矩陣 AATA 的行向量的格拉姆矩陣。

對一般任何上的有限維向量空間上的雙線性形式 B,我們可對一組向量 定義一個格拉姆矩陣 G 。如果雙線性形式 B 對稱則該格拉姆矩陣對稱。

應用

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性質

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半正定

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格拉姆矩陣是半正定的,反之每個半正定矩陣是某些向量的格拉姆矩陣。這組向量一般不是惟一的:任何正交基的格拉姆矩陣是單位矩陣。

這個命題無窮維類比是Mercer定理英語Mercer's theorem)。

基變換

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在一個由可逆矩陣 P 表示的基變換下,格拉姆矩陣是用 P 做一個矩陣合同變為 PTGP

格拉姆行列式

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格拉姆行列式Gram determinant 或 Gramian)是格拉姆矩陣的行列式:

在幾何上,格拉姆行列式是這些向量形成的平行多面體的體積之平方。特別地,這些向量線性無關若且唯若格拉姆行列式不為零(若且唯若格拉姆矩陣非奇異)。

外部連結

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  • Jamshidian; Bentler, Applied Psychological Measurement 18: 79 – 94, 1993