皮克定理
外觀
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6c/Pick_theorem.png)
給定頂點座標均是整點(或正方形格子點)的簡單多邊形,皮克定理說明了其面積 和內部格點數目 、邊上格點數目 的關係:。
證明
[編輯]因為所有簡單多邊形都可切割為一個三角形和另一個簡單多邊形。考慮一個簡單多邊形 ,及跟 有一條共同邊的三角形 。若 符合皮克公式,則只要證明 加上 的 亦符合皮克公式(I),與及三角形符合皮克公式(II),就可根據數學歸納法,對於所有簡單多邊形皮克公式都是成立的。
多邊形
[編輯]設 和 的共同邊上有 個格點。
- 的面積:
- 的面積:
- 的面積:
三角形
[編輯]證明分三部分:證明以下的圖形符合皮克定理:
- 所有平行於軸線的矩形;
- 以上述矩形的兩條鄰邊和對角線組成的直角三角形;
- 所有三角形(因為它們都可內接於矩形內,將矩形分割成原三角形和至多3個第二點提到的直角三角形)。
矩形
[編輯]設矩形 長邊短邊各有,個格點:
直角三角形
[編輯]易見兩條鄰邊和對角線組成的兩個直角三角形全等,且 , 相等。設其斜邊上有 個格點。
一般三角形
[編輯]逆運用前面對2個多邊形的證明:
既然矩形符合皮克定理,直角三角形符合皮克定理。又前面證明到若P,T符合皮克公式,則 加上 的 亦符合皮克公式。那麼由於矩形可以分解成1個任意三角形和至多三個直角三角形。
於是顯然有,只有當這個任意三角形也符合皮克定理的時候,才會使得在直角三角形符合的同時,矩形也符合。
推廣
[編輯]- 取格點的組成圖形的面積為一單位。在平行四邊形格點,皮克定理依然成立。套用於任意三角形格點,皮克定理則是。
- 對於非簡單的多邊形,皮克定理,其中 表示 的歐拉示性數。
- 高維推廣:Ehrhart多項式;一維:植樹問題。
- 皮克定理和歐拉公式()等價。
定理提出者
[編輯]Georg Alexander Pick,1859年生於維也納,1943年死於特萊西恩施塔特集中營。
相關書籍
[編輯]- 《格點和面積》 閔嗣鶴著