皮克定理
外观
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6c/Pick_theorem.png)
给定顶点座标均是整点(或正方形格子点)的简单多边形,皮克定理说明了其面积 和内部格点数目 、边上格点数目 的关系:。
证明
[编辑]因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形 ,及跟 有一条共同边的三角形 。若 符合皮克公式,则只要证明 加上 的 亦符合皮克公式(I),与及三角形符合皮克公式(II),就可根据数学归纳法,对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。
多边形
[编辑]设 和 的共同边上有 个格点。
- 的面积:
- 的面积:
- 的面积:
三角形
[编辑]证明分三部分:证明以下的图形符合皮克定理:
- 所有平行于轴线的矩形;
- 以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形;
- 所有三角形(因为它们都可内接于矩形内,将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形)。
矩形
[编辑]设矩形 长边短边各有,个格点:
直角三角形
[编辑]易见两条邻边和对角线组成的两个直角三角形全等,且 , 相等。设其斜边上有 个格点。
一般三角形
[编辑]逆运用前面对2个多边形的证明:
既然矩形符合皮克定理,直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P,T符合皮克公式,则 加上 的 亦符合皮克公式。那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。
于是显然有,只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候,才会使得在直角三角形符合的同时,矩形也符合。
推广
[编辑]- 取格点的组成图形的面积为一单位。在平行四边形格点,皮克定理依然成立。套用于任意三角形格点,皮克定理则是。
- 对于非简单的多边形,皮克定理,其中 表示 的欧拉示性数。
- 高维推广:Ehrhart多项式;一维:植树问题。
- 皮克定理和欧拉公式()等价。
定理提出者
[编辑]Georg Alexander Pick,1859年生于维也纳,1943年死于特莱西恩施塔特集中营。
相关书籍
[编辑]- 《格点和面积》 闵嗣鹤著