糾纏譜

糾纏譜 (entanglement spectrum) 是一個由 Li 和 Haldane 在2008年提出的量子力學概念，可作為糾纏熵的推廣，用來分析量子多體系統的波函數。糾纏譜的數學定義是

$\xi _{i}=-\ln \omega _{i}$

其中$\omega _{i}$是約化密度矩陣的第$i$個本徵值。

簡介

討論量子糾纏的時候，經常把一個量子系統區分成 A 和 B 兩個子系統，量子糾纏則是探討 A 和 B 之間的量子關聯性。假設總系統的歸一化波函數可以寫成

$|\psi \rangle =\sum _{i\in A}\sum _{k\in B}\phi _{ik}|i\rangle |k\rangle$

雖然總系統的密度矩陣 $\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$ 是一個純態，但是經過部分跡子系統 B 的自由度之後，得到的約化密度矩陣 $\rho _{A}=\mathrm {tr} _{B}\rho$ 可能是一個混合態，即 $\rho _{A}^{2}\neq \rho _{A}$。 這個部分跡「$\mathrm {tr} _{B}$」是指只跡子系統 B 的自由度的操作，其結果仍是一個矩陣，矩陣大小變為子系統 A 的自由度的大小。約化密度矩陣的矩陣元是

$[\rho _{A}]_{ij}=\sum _{k}\phi _{ik}^{*}\phi _{jk}$

可以看出約化密度矩陣是一個厄米矩陣，$[\rho _{A}]_{ji}^{*}=[\rho _{A}]_{ij}$，所以 $\rho _{A}$ 的本徵值必為實數。由於 $\rho _{A}$ 可能是一個混合態，這表示當總系統是$|\psi \rangle$這個狀態時，如果測量只發生在子系統 A，則會得到許多不同可能的結果，這些不同的結果相對應的概率就是 $\rho _{A}$ 的本徵值 $\omega _{i}$，滿足本徵值方程式 $\rho _{A}|\omega _{i}\rangle =\omega _{i}|\omega _{i}\rangle$。由於總系統波函數是歸一化的，$\langle \psi |\psi \rangle =1$，可推得所有的本徵值的總和也是歸一化的。

$\sum _{i}\omega _{i}=1$

$\omega _{i}$ 也有概率的意義。一個只作用在 A 的測量量 $O_{A}$ 的期望值就是把子系統在各個本徵態的期望值 $\langle \omega _{i}|O_{A}|\omega _{i}\rangle$，和子系統對應在那個本徵態的概率 $\omega _{i}$，相乘之後的總和，

$\langle O_{A}\rangle =\mathrm {tr} (\rho _{A}O_{A})=\sum _{i}\omega _{i}\langle \omega _{i}|O_{A}|\omega _{i}\rangle$

A 和 B 之間的糾纏的程度大小，可以從 $\omega _{i}$ 的分佈觀察得到，例如：若所有的本徵態的概率皆相等，$\omega _{1}=\omega _{2}=\cdots$，則 A 和 B 是最大可能的糾纏狀態。另一個極限是，若只有其中一個本徵值為 1，$\omega _{1}=1$，其餘本徵值皆為 0，$\omega _{2}=\omega _{3}=\cdots =0$，那麼測量子系統 A 也只會得到一種可能，這表示 A 和 B 沒有任何糾纏。「糾纏熵」正是可以很好的刻畫這樣的性質，不過糾纏熵把本徵值的分佈濃縮成一個數值，糾纏譜則是直接觀察 $\rho _{A}$ 的本徵值的分佈，然而糾纏譜的定義讓單純的概率分佈和能譜有更巧妙的關聯和意義。

在量子統計力學中，考慮一個正則系綜的混合態密度矩陣 $\rho =e^{-\beta H}/Z$，其中 $\beta =1/k_{B}T$ 是溫度的倒數，$k_{B}$ 是波茲曼常數，$Z=\mathrm {tr} (e^{-\beta H})$是配分函數，$H$ 是系統的哈密頓算符。既然約化密度矩陣 $\rho _{A}$ 是一個混合態，那麼將它類比成一個熱力學平衡時，溫度為 $\beta =1$ 的熱態 $\rho _{A}=e^{-H_{E}}$，可以定義出一個假想的哈密頓算符 $H_{E}$，這個 $H_{E}$ 是只作用在子系統 A 上的算符，稱為糾纏哈密頓算符(Entanglement Hamiltonian)，而 $H_{E}$ 的本徵值 $\xi _{i}$ 就稱為糾纏譜，滿足 $H_{E}|\omega _{i}\rangle =\xi _{i}|\omega _{i}\rangle$，所以糾纏譜和 $\omega _{i}$ 的關係是 $\omega _{i}=e^{-\xi _{i}}$ 或

$\xi _{i}=-\ln \omega _{i}$

須注意糾纏譜的定義可以不討論系統的哈密頓算符，而且即使系統的哈密頓算符 $H$ 可寫成子系統的相加以及子系統之間的相互作用，$H=H_{A}+H_{B}+H_{AB}$，一般來說糾纏哈密頓算符 $H_{E}$ 也不會正比於子系統 A 的哈密頓算符 $H_{A}$，$H_{E}\neq \beta H_{A}$。