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阿特伍德機

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阿特伍德機,1905年。

阿特伍德機(Atwood machine,又譯作阿特午德機阿特午機),是由英國牧師數學家物理學家喬治·阿特伍德在1784年發表的《關於物體的直線運動和轉動》一文中提出的[1],用於測量加速度及驗證運動定律的機械。此機械現在經常出現於學校教學中,用來解釋經典物理學的原理,驗證力學中做恆定加速度運動的運動規律。

一個理想的阿特伍德機包含兩個物體質量m1m2,及由無重量、無彈性的繩子連結並包覆理想且無重量的滑輪[2]

,無論兩物體在何位置、機器處於力平衡的狀態。當時,兩物體皆以大小相等的加速度做運動。

恆定加速度的方程式

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Atwood machine
Atwood machine

我們可以藉由分解力的方法得到一個加速度的方程式。如果繩子無重量、無彈性,滑輪理想(無視半徑)且無重量,那麼我們只需要考慮張力T),還有兩個物體的重量mg)。先找出個別影響兩物體的力,當時,

m1的力:

m2的力:

利用牛頓第二運動定律, , 。 將這兩個方程式相加, 我們可以得到整個系統的恆定的加速度的方程式。定義合力, 我們有

阿特伍德機有時候也被用來說明拉格朗日力學中獲得的運動方程式。 [3]

計算張力的方程式

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上述的方程式也可用來計算繩子上的張力,只需要將得到的等加速度方程式代入兩物體的力方程式之一中。

例如代入,我們得到

藉由同樣的方法,張力也可以從中求得。

有轉動慣量滑輪和摩擦存在的情況

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m1m2之間的重量差別很小時,半徑為(r)的滑輪的轉動慣量I)不可以被忽略。當不打滑時,滑輪的角加速度可以從以下算式求得:

在此情況下,作用於滑輪上的總力矩為:

把該方程式與兩個垂吊物體的方程式 , 聯合求解 , ,我們得到:


參考

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  1. ^ 漆安慎、杜嬋英. 《力学》(第二版). 高等教育出版社. 2005: 76頁. ISBN 978-7-04-016624-8. 
  2. ^ Tipler, Paul A. Physics For Scientists and Engineers, Third Edition, Extended Version. New York: Worth Publishers. 1991. ISBN 0-87901-432-6.  Chapter 6, example 6-13, page 160.
  3. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics, second Edition. New Delhi: Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition. 1980. ISBN 81-85015-53-8.  Section 1-6, example 2, pages 26-27.