Q格式

Q格式是二進制的定點數格式，其中會標示小數位元（也可能包括整數位元）的長度。例如Q15數表示分數部份有15個位元，而Q1.14數表示1個整數位元以及14個小數位元。

針對有號的定點數，有二種Q格式的表示方式。其中一種是將符號位元算在整數位元裏，但另外一種就不是。例如，16位元的有號整數（無小數位元）可以表示為Q16.0或Q15.0。因此，在用說明Q格式的有號定點數字時，可能也需要一併標示總位元數（在此處為16）。

Q格式是幾種廣為使用的定點數中的一種。定點數常用在不支援浮點運算器的硬件,或是用在需要固定解像度的應用。

特點

Q格式用來標示定點數，儲存以及運算都是以一般的二進位整數為基礎來處理，因此允許標準的整數硬件／算術邏輯單元來進行有理數運算。程式設計者可以依應用需求，選定其整數位元數、小數位元數（以及資料總位元數），而之後定點數的範圍以及解像度就會依整數位元數、小數位元數而不同。

有些DSP架構原生支持一些常用的Q格式（例如Q1.15），這種情形下，可以在一個指令下就進行四則運算，若是加減法，可以支援飽和運算，若是乘除法，可以有正規化的機能。不過大部份的DSP無此功能，若DSP架構不支持選定的Q格式，程式設計者就要自行再針對加減法進行飽和運算，針對乘除法進行正規化。

有號號Q格式的表示方式有兩種，都寫成Qm.n：

Q表示這個數字是以Q格式表示，在德州儀器則用Q表示是有號的Q格式（Q是數學裏表示有理數的字母）
m.（可省略，若省略的話，假設是0或1）是數字在用二補數表示下的整數位元數，可能包括符位元，也可能不包括（這也是若m省略的話，假設是0或1的原因）。
n是數字中小數的位元數，也就是二進位表示時，在小數點右邊的二進位個數（若n = 0，表示Q格式數字是整數）。

一種表示方式將符號位元放在整數位元 m中一起計算^[1]^[2]，另一種則不是。確認方式可以將m和n相加，看是否等於數字位元數，若相等，表示其符號位元放在整數位元 m，若比數字位元數少1，表示其其符號位元獨立計算。

此外，字母U可以放在Q前面，說明是無號數，例如UQ1.15，數值範圍是0.0 to +1.999969482421875 （也就是 $1+{\frac {2^{15}-1}{2^{15}}}$ ）。

有號的Q格式數值會用二補數儲存，正如大部份處理器處理整數的情形一樣。在二補數中，會用符號位元填滿沒有用到數字位元。

針對給定的Qm.n格式（假設符號位元也算在m個位元內），用m+n位元的有號整數來處理，再考慮其中有n位元是表示小數：

其範圍為 $[-(2^{m-1}),2^{m-1}-2^{-n}]$
其解像度為 $2^{-n}$

針對給定的UQm.n格式，用m+n位元的有號整數來處理，再考慮其中有n位元是表示小數：

其範圍為 $[0,2^{m}-2^{-n}]$
其解像度為 $2^{-n}$

例如Q15.1格式的數字：

需要位元數為15+1 = 16位元
其範圍為[-2¹⁴, 2¹⁴ - 2⁻¹] = [-16384.0, +16383.5] = [0x8000, 0x8001 … 0xFFFF, 0x0000, 0x0001 … 0x7FFE, 0x7FFF]
其解像度為2⁻¹ = 0.5

Q格式和浮點數不同，Q格式數字的解像度不隨數字大小而不冋。

轉換

浮點數到Q格式

若要將浮點數（例如IEEE 754）轉換為Qm.n的格式：

將浮點數乘以2ⁿ
四捨五入到最接近的整數

Q格式到浮點數

若要將Qm.nQ格式的數數轉換為浮點數：

將整數轉換為浮點數
乘以2⁻ⁿ

數學運算

Q格式的數字是二個整數的比例：會儲存分子，而分母固定是2ⁿ。

考慮以下的例子；

Q8格式的分母是2⁸ = 256
1.5等於384/256
會儲存384，256不儲存（因為是Q8格式，分母固定是256）

若Q格式的基底固定（n都相同），則Q格式的數學運算需維持分母不變。以下是二個相同Q格式數字 $N_{1}$ 和 $N_{2}$ 的運算。

${\begin{aligned}{\frac {N_{1}}{d}}+{\frac {N_{2}}{d}}&={\frac {N_{1}+N_{2}}{d}}\\{\frac {N_{1}}{d}}-{\frac {N_{2}}{d}}&={\frac {N_{1}-N_{2}}{d}}\\\left({\frac {N_{1}}{d}}\times {\frac {N_{2}}{d}}\right)\times d&={\frac {N_{1}\times N_{2}}{d}}\\\left({\frac {N_{1}}{d}}/{\frac {N_{2}}{d}}\right)/d&={\frac {N_{1}/N_{2}}{d}}\end{aligned}}$

因為分母是二的次冪，因此和二的次冪相乘可以表示為二進制下的左移，和二的次冪相除可以表示為二進制下的右移，很多處理器的左移和右移會比乘除法要快。

為了要維持乘法和除法的精度，中間值需要用雙精度來儲存，在轉換回需要的Q格式數字之間，也需要先注意數值修約的處理。

兩個不同Q格式基底的數字也可以相乘除，相乘除的數字也可以用另一個基底表示。以下是二個Q格式數字 $N_{1}$ （分母 $d_{1}$ ）和 $N_{2}$ （分母 $d_{2}$ ）的運算，運算結果的分母是 $d_{3}$ 。

${\begin{aligned}\left({\frac {N_{1}}{d_{1}}}\times {\frac {N_{2}}{d_{2}}}\right)\times {\frac {d_{1}d_{2}}{d_{3}}}&={\frac {N_{1}\times N_{2}}{d_{3}}}\\\left({\frac {N_{1}}{d_{1}}}/{\frac {N_{2}}{d_{2}}}\right)\times {\frac {d_{1}}{d_{2}d_{3}}}&={\frac {N_{1}/N_{2}}{d_{3}}}\end{aligned}}$

若用C語言，相同Q格式基底數字四則運算對應的程式如下（以下的Q是表示小數部份的位元數）

加法

int16_t q_add(int16_t a, int16_t b)
{
    return a + b;
}

有飽和

int16_t q_add_sat(int16_t a, int16_t b)
{
    int16_t result;
    int32_t tmp;

    tmp = (int32_t)a + (int32_t)b;
    if (tmp > 0x7FFF)
        tmp = 0x7FFF;
    if (tmp < -1 * 0x8000)
        tmp = -1 * 0x8000;
    result = (int16_t)tmp;

    return result;
}

浮點數有±Inf，但Q格式沒有，若不進行飽和處理，二個很大的正數相加，可能會變成一個很大的負數。若是用組合語言，可以用Signed Overflow旗標來避免C語言實現時需要的型態轉換。

減法

int16_t q_sub(int16_t a, int16_t b)
{
    return a - b;
}

乘法

// precomputed value:
#define K   (1 << (Q - 1))
 
// saturate to range of int16_t
int16_t sat16(int32_t x)
{
	if (x > 0x7FFF) return 0x7FFF;
	else if (x < -0x8000) return -0x8000;
	else return (int16_t)x;
}

int16_t q_mul(int16_t a, int16_t b)
{
    int16_t result;
    int32_t temp;

    temp = (int32_t)a * (int32_t)b; // result type is operand's type
    // Rounding; mid values are rounded up
    temp += K;
    // Correct by dividing by base and saturate result
    result = sat16(temp >> Q);

    return result;
}

除法

int16_t q_div(int16_t a, int16_t b)
{
    /* pre-multiply by the base (Upscale to Q16 so that the result will be in Q8 format) */
    int32_t temp = (int32_t)a << Q;
    /* Rounding: mid values are rounded up (down for negative values). */
    /* OR compare most significant bits i.e. if (((temp >> 31) & 1) == ((b >> 15) & 1)) */
    if ((temp >= 0 && b >= 0) || (temp < 0 && b < 0)) {   
        temp += b / 2;    /* OR shift 1 bit i.e. temp += (b >> 1); */
    } else {
        temp -= b / 2;    /* OR shift 1 bit i.e. temp -= (b >> 1); */
    }
    return (int16_t)(temp / b);
}

參考資料

^ ARM Developer Suite AXD and armsd Debuggers Guide. 1.2. 安謀控股. Chapter 4.7.9. AXD > AXD Facilities > Data formatting > Q-format. 2001 [1999]. ARM DUI 0066D. （原始內容存檔於2017-11-04）.
^ Chapter 4.7.9. AXD > AXD Facilities > Data formatting > Q-format. RealView Development Sui (PDF). 安謀控股. 2006: 4–24 [1999]. ARM DUI 0066G. （原始內容存檔 (PDF)於2017-11-04）.

延伸閱讀

Oberstar, Erick L. Fixed Point Representation & Fractional Math (PDF). 1.2. Oberstar Consulting. 2007-08-30 [2004] [2017-11-04]. （原始內容存檔 (PDF)於2017-11-04）. (Note: the accuracy of the article is in dispute; see discussion.)

外部連結

Q-Number-Format Java Implementation. [2017-11-04]. （原始內容存檔於2017-11-04）.

[ARM_2001-1] ARM Developer Suite AXD and armsd Debuggers Guide. 1.2. 安謀控股. Chapter 4.7.9. AXD > AXD Facilities > Data formatting > Q-format. 2001 [1999]. ARM DUI 0066D. （原始內容存檔於2017-11-04）.

[ARM_2006-2] Chapter 4.7.9. AXD > AXD Facilities > Data formatting > Q-format. RealView Development Sui (PDF). 安謀控股. 2006: 4–24 [1999]. ARM DUI 0066G. （原始內容存檔 (PDF)於2017-11-04）.

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