內自同構
外觀
(重新導向自內自同構群)
在抽象代數的群論中,內自同構是群的自同構的一種。設g為群G的一個元素,則g對應的內自同構,是以g的共軛作用定義如下
群G的一個自同構,如果是G的元素的共軛作用,便稱為內自同構。
性質
[編輯]若g在G的中心Z(G)內,則是平凡的。因此阿貝爾群的內自同構都是平凡的。一般而言,的不動點集,正是g的中心化子CG(g)。
由群的中心的基本性質可知,若Inn(G)是循環群,則Inn(G)是平凡群。
若Inn(G)=Aut(G)且G無中心,則G稱為完備群。
內自同構群
[編輯]群G的內自同構組成內自同構群Inn(G)。內自同構群Inn(G)與群G對其中心Z(G)的商群G/Z(G)同構。
內自同構群Inn(G)是G的自同構群Aut(G)中的正規子群,其對應商群記為Out(G)=Aut(G)/Inn(G),稱為外自同構群。
上述關係可以用以下兩個短正合列表示:
正規子群
[編輯]群G的子群H是G的正規子群,當H在G的任一內自同構的作用下不變。這時G的內自同構限制到H上是H的自同構(未必是H的內自同構),因而有群同態。這個群同態的核是H在G中的中心化子CG(H)。
對一般的子群H,可取其在G中的正規化子NG(H),則H是NG(H)的正規子群,故有群同態,其核是CG(H)。因此NG(H)/CG(H)可以嵌入到Aut(H)內,即
是單射。
參考
[編輯]- Rotman, Joseph J., An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-94285-8 (chapter 7).