伪度量

对于集合$X$中任意元素$x,y$，若实值函数$d:(X,X)\to R$符合以下三个条件，称它为一个伪度量（pseudometric）。

• $d(x,x)=0$
• $d(x,y)=d(y,x)$
• $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

它和一般距离（度量）的定义的分别只在于伪度量容许对于相异的元素$x,y$，$d(x,y)=0$。

例子

• $X$为向量空间，$p$是半范数，$d(x,y)=p(x-y)$是$X$的伪度量
• 有集$X,Y$，其中$Y$上有一距离$d(Y)$，设$F(X)$为所有$X\to Y$的函数之集，取$x_{0}\in X$，则$d(f,g)=d_{Y}(f(x_{0})-g(x_{0}))$是一个$F(X)$的伪度量。

拓扑空间

• 对于集$X$有伪度量d，则所有开球$S_{r}=\{x\in X|d(p,x)<r\}$的族可以作为$X$内一个拓扑空间的基。该拓扑空间是
• T₄。
• 第一可数空间。

若它是T₀，它是可距空间。

参考文献

• Arkhangel'skii, A.V.; Pontryagin, L.S. General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer. 1990. ISBN 3-540-18178-4. 
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, Arthur. Counterexamples in Topology new edition. Dover Publications. 1995 [1970]. ISBN 048668735X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
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• Example of pseudometric space. PlanetMath.