割
图论中，割（cut）是将图的顶点分为两不交子集的划分。[1]割确定了割集，是两端分别在两子集中的边集，称这些边跨过（cross）了割。连通图中，割集唯一确定一个割，识别割有时是通过割集，而非顶点划分。
网络流中，s–t割指使得源与汇不在同一子集的割，其割集只含源一侧到汇一侧的边。s-t割的容量（capacity）定义为割集中所有边的容量和。
定义
[编辑]割是将图的顶点V分为两子集S、T的划分。 割的割集是一端点位于S、另一端点位于T的边的集合。 令s、t是图G的两顶点，则s–t割是使得s属于S、t属于T的割。
在无权无向图中，割的大小（size）或权（weight）是跨过割的边数。加权图中，割的值（value）或权（weight）是跨过割的边的权重之和。
键（bond）是真子集中没有其他割集的割集。
最小割
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最小割的大小或权不大于其他割。右图展示了最小割，其大小为2，且没有大小为1的割，因为这张图没有桥。
最大流最小割定理指出，最大网络流等于分割了源汇的最小割的割边权重之和。有一些多项式时间方法可以解决最小割问题，最知名的是埃德蒙兹-卡普算法。[2]
最大割
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最大割的大小或权不小于其他割。右图展示了最大割，其大小为5，且没有大小为6的割（即边的总数，写作），因为这张图不是二分图（有奇环）。
一般来说，找最大割是很难计算的。[3] 最大割问题是卡普的二十一个NP-完全问题之一，[4] 也是APX问题之一，这是说除非P = NP，否则不会存在多项式时间复杂度的近似方法。[5] 不过，可以用半正定规划，将其逼近到恒定的近似比。[6]
注意从线性规划的意义上讲，最小割与最大割问题虽然可以通过改换目标函数的min、max使其变为另一个问题，但不是对偶的：最小割问题的对偶实际上是最大流问题。[7]
最疏割
[编辑]最疏割（sparsest cut）使跨过割的边数对割的较小一侧的顶点数之比最小，目标函数偏向稀疏（跨过割的边更少）与平衡（接近二分）。这是NP问题，已知的最佳近似算法是近似，见Arora, Rao & Vazirani (2009)。[8]
割空间
[编辑]无向图的所有割的族（family）称作图的割空间（cut space），在算术模2的二元有限域上形成向量空间，以两割集的对称差为向量加法，是环空间的正交补。[9][10]若给边赋予正权重，割空间的最小权基可由与图同顶点集的树描述，称作最小割树。[11]树的边都关联于原图的键，两节点s、t之间的最小割也就是与树中s到t的路径相关联的键中权最小的键。
另见
[编辑]参考
[编辑]- ^ NetworkX 2.6.2 documentation. networkx.algorithms.cuts.cut_size. [2021-12-10]. （原始内容存档于2021-11-18）.
A cut is a partition of the nodes of a graph into two sets. The cut size is the sum of the weights of the edges “between” the two sets of nodes.
- ^ Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford, Introduction to Algorithms 2nd, MIT Press and McGraw-Hill: 563,655,1043, 2001, ISBN 0-262-03293-7.
- ^ Garey, Michael R.; Johnson, David S., Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, W.H. Freeman, A2.2: ND16, p. 210, 1979, ISBN 0-7167-1045-5.
- ^ Karp, R. M., Reducibility among combinatorial problems, Miller, R. E.; Thacher, J. W. (编), Complexity of Computer Computation, New York: Plenum Press: 85–103, 1972.
- ^ Khot, S.; Kindler, G.; Mossel, E.; O’Donnell, R., Optimal inapproximability results for MAX-CUT and other two-variable CSPs? (PDF), Proceedings of the 45th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science: 146–154, 2004 [2019-08-29], （原始内容存档 (PDF)于2019-07-15）.
- ^ Goemans, M. X.; Williamson, D. P., Improved approximation algorithms for maximum cut and satisfiability problems using semidefinite programming, Journal of the ACM, 1995, 42 (6): 1115–1145, doi:10.1145/227683.227684
.
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- ^ Arora, Sanjeev; Rao, Satish; Vazirani, Umesh, Expander flows, geometric embeddings and graph partitioning, J. ACM (ACM), 2009, 56 (2): 1–37, S2CID 263871111, doi:10.1145/1502793.1502794.
- ^ Gross, Jonathan L.; Yellen, Jay, 4.6 Graphs and Vector Spaces, Graph Theory and Its Applications 2nd, CRC Press: 197–207, 2005, ISBN 9781584885054.
- ^ Diestel, Reinhard, 1.9 Some linear algebra, Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics 173, Springer: 23–28, 2012.
- ^ Korte, B. H.; Vygen, Jens, 8.6 Gomory–Hu Trees, Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms, Algorithms and Combinatorics 21, Springer: 180–186, 2008, ISBN 978-3-540-71844-4.
