本迪克森-杜拉克定理

在数学里，本迪克森-杜拉克定理说明了对于一个二维的驻定动力系统

{\frac {dx}{dt}}=X(x,y),

{\frac {dy}{dt}}=Y(x,y)

如果存在 $\varphi (x,y)$ 使得

{\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}\neq 0

在研究区域（必须是单连通的）上几乎处处成立，那么这个动力系统不存在周期解。所谓“几乎处处成立”是指不成立的点的集合是一个测度为零的集合。这个定理可以用格林定理证出。

证明[编辑]

运用反证法，假设研究区域为单连通的区域 $D$ ，其内存在对于动力系统：

{\frac {dx}{dt}}=X(x,y),

{\frac {dy}{dt}}=Y(x,y)

的一组周期解 $(x,y)$ ，其周期为 $T$ ，那么对于

\Gamma :x=x(t)\,\ y=y(t)\,\ 0\leq t\leq T

所围成的区域 $D_{\Gamma }\subset D$ ，有

\iint _{D_{\Gamma }}\,({\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}})dx\,dy=\int _{\Gamma }\,\varphi (Xdy-Ydx)

=\int _{0}^{T}\,\varphi (X{\frac {dy}{dt}}-Y{\frac {dx}{dt}})dt=\int _{0}^{T}\,\varphi (XY-YX)dt=0

但是由于使得 ${\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}=0$ 的点 $(x,y)$ 的集合是一个测度为零的集合，所以总可以找到 $\varphi$ 使得 ${\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}$ 在零点之外不变号。这样 $\iint _{D_{\Gamma }}\,({\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}})dx\,dy$ 不可能为0，矛盾！