汤普森群

数学上，汤普森群（英语：Thompson groups）是理查德·汤普森1965年在几份未发表的手写笔记中，提出的三个群，通常记为F⊂T⊂V。这三个群中受到最广泛研究的是群F。有时汤普森群单单指群F。

这三个汤普森群有许多不寻常性质，当中尤以F为甚，因此成为了群论中不少猜想的反例。这三个群都是有限展示的无限群。T和V是罕有的无限但为有限展示的单群。F不是单群，但其换位子群[F,F]是单群。F对换位子群的商F/[F,F]是秩2的自由阿贝尔群。F是全序群，有指数增长率，无子群同构于秩2自由群。

群F是否可均群的问题，争议颇大，有两方各执一端：E. Shavgulidze和Justin Moore各自发表预印论文，声称F是可均群；另外Azer Akhmedov和Leva Beklaryan也各自发表预印论文，声称F不是可均群。但是这些预印论文的证明随后都发现有错误。至今难以猜测F是否可均群。

现时已知F不是初等可均群，假如F不是可均群，则会成为有限展示群的冯纽曼猜想的另一个反例。这个猜想指有限展示的非可均群都有子群同构于秩2自由群，自提出后多年未解，直至2003年才被推翻。

Higman (1974)提出了一个以有限展示单群组成的无限族，汤普森群V是这个族中一个特例。

展示

群F的一个有限展示如下：

$\langle A,B\mid \ [AB^{-1},A^{-1}BA]=[AB^{-1},A^{-2}BA^{2}]=\mathrm {id} \rangle$

其中[x,y]是换位子xyx⁻¹y⁻¹.

虽然F可表达为有两个生成元及两个关系元的有限展示，但用以下的无限展示较容易理解：

$\langle x_{0},x_{1},x_{2},\dots \ \mid \ x_{k}^{-1}x_{n}x_{k}=x_{n+1}\ \forall \ k<n\rangle .$

以上两个展示间的关系为 x₀=A, x_n = A¹⁻ⁿBAⁿ⁻¹ 对n>0。

其他表示

汤普森群F是由在二叉树上如图中形式的操作所生成。图中L和T是节点，但A, B, R可以用一般的树代替。

群F可以用有序有根的二叉树上的运作表示。群F也可以表达为单位区间上由所有如下所述的分段线性同胚组成的群：同胚保持区间的定向，不可微点都是二进有理数（即形为m/2ⁿ的数，其中m, n为整数），每段的斜率都是2的幂。

将单位区间的端点等同，便可以视群F为在单位圆上作用，而群T是在F中加入单位圆的同胚x→x+1/2 mod 1而生成的群。在二叉树上的对应操作是把根节点下方的两棵树交换。群V是在群T中加入一个不连续映射而生成的群，这映射固定半开区间[0,1/2)的点，并用最显然的方法交换区间[1/2,3/4)和[3/4,1)。在二叉树上的对应操作为把根节点的右子节点下的两棵树（如有的话）交换。

参考

• Cannon, J. W.; Floyd, W. J.; Parry, W. R., Introductory notes on Richard Thompson's groups (PDF), L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série, 1996, 42 (3): 215–256 [2013-11-02], ISSN 0013-8584, MR 1426438, （原始内容存档 (PDF)于2013-05-12） 
• Cannon, J.W.; Floyd, W.J. WHAT IS...Thompson's Group? (PDF). Notices of the American Mathematical Society. September 2011, 58 (8): 1112–1113 [December 27, 2011]. ISSN 0002-9920. （原始内容存档 (PDF)于2013-11-04）. 
• Higman, Graham, Finitely presented infinite simple groups, Notes on Pure Mathematics 8, Department of Pure Mathematics, Department of Mathematics, I.A.S. Australian National University, Canberra, 1974 [2013-11-02], ISBN 978-0-7081-0300-5, MR0376874, （原始内容存档于2014-01-01）