函数极限

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$x$	${\frac {\sin x}{x}}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

上表所示函数的图形，请注意在$x=0$处取不到值。因为被零除，所以在这一点函数没有意义。

尽管函数${\frac {\sin x}{x}}$的定义域中不包括“0”，但当$x$无限接近于零时，${\frac {\sin x}{x}}$就无限接近于 1，换句话说，$x$接近于零时，${\frac {\sin x}{x}}$的极限是 1。

在数学中，函数极限（英语：Limit of a function）是微积分的一个基本概念。它描述函数在接近某一给定自变量时的特征。函数 $f$ 于 $a$ 的极限为 $L$ ，直观上意为当 $x$ 无限接近 $a$ 时，$f(x)$ 便无限接近 $L$ 。

正式定义

动机

如果取 $\delta$ 为＂ $x$ 与 $a$ 差距的上限＂；类似地，取 $\epsilon$ 为＂ $f(x)$ 与 $L$ 差距的上限＂，那根据直观，可以将函数极限定义为：

若对所有的 $\delta >0$ ，存在 $0<\epsilon \leq \delta$，使得对所有的 $x\in D_{f}$ ，只要 $0<\left|x-a\right|<\delta$ 就有 $\left|f(x)-L\right|<\epsilon$

其中 $\epsilon \leq \delta$ 是要确保 $\delta$ 越来越小时， $\epsilon$ 也会越来越小； $0<\left|x-a\right|<\delta$ 是为了凸显 $x$ 是逼近而非等于 $a$ ，但对应的 $f(x)$ 是可以等于 $L$ 的。

但对于实函数 $f(x)=x^{2}$ 逼近 $a=0$ 时，考虑到 $\delta \geq 1$ 的部分；在 ${\left|x-0\right|}^{2}<\delta ^{2}$ 下是没有这样的 $\epsilon$ 使得 $0<\epsilon \leq \delta$ 且 $\left|x^{2}-0\right|<\epsilon$ 的，但数值上 $f(x)=x^{2}$ 的确在 $a=0$ 时很靠近 $0$ ，也就是 $\epsilon \leq \delta$ 的部分局限了定义能覆盖的范围。

上面的例子表明以 $x$ 的变化去限制 $f(x)$ 的变化通常是很困难的，但如果反过来从 $\epsilon$ 出发，去找怎样的 $x$ 会让 $f(x)$ 与 $L$ 的差距小于 $\epsilon$ ，也就是从＂若对所有的 $\epsilon >0$ 存在 $\delta >0$ ＂出发的话，显然上面 $f(x)=x^{2}$的例子只要取 $\delta ={\sqrt {\epsilon }}$ 即可；而且在这个定义被满足的情况下，若进一步取 $\epsilon$ 和 $\delta$ 的最小值为 $x$ 与 $a$ 差距的上限，还是会有 $\left|f(x)-L\right|<\epsilon$ ，这样就可以用 $\epsilon$ 控制 $x$ 的变化，而满足＂ $x$ 趋近于 $a$ 时 $f(x)$ 趋近于 $L$ ＂的直观想法。

但实际上无法确保对所有 $\delta >0$，都有 $x\in D_{f}$ 使得 $0<\left|x-a\right|<\delta$ ，所以定义函数极限之前必须要求 $a$ 为 $D_{f}$ 的极限点。但大部分的情况会退而求其次的假设存在 $r>0$ 使得 $f(x)$ 在 $0<\left|x-a\right|<r$ 都有定义，也就是存在 $a$ 的去心邻域使 $f(x)$ 都有定义，这样的话 $a$ 会自动成为 $D_{f}$ 的极限点。

自变量趋于有限值时函数的极限

$f$ 为实函数， $a\in \mathbb {R}$ 为 $D_{f}$ 的极限点且 $L\in \mathbb {R}$ ，若＂对所有的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$，使得对所有的 $x\in D_{f}$ 只要 $0<\left|x-a\right|<\delta$ 就有 $\left|f(x)-L\right|<\epsilon$ ＂，或以正式的逻辑符号表述为

$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,0<\left|x-a\right|<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]$

则以 $\lim _{x\to a}f(x)=L$ 表示，称 $L$ 为实函数 $f$ 于 $a$ 的极限。

自变量趋于无穷大时函数的极限

由于＂无穷大＂不能直接定义成定义域 $D_{f}$ 的极限点，可以退而求其次假设＂对所有的 $\delta >0$ 存在 $x\in D_{f}$ 使得 $x>\delta$ ＂。也就是直观上可以用定义域 $D_{f}$ 里的点去逼近＂无穷大＂。那在这种条件下，$L\in \mathbb {R}$，且若＂对所有 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得对所有的 $x\in D_{f}$ 只要 $x>\delta$ 时，有$\left|f(x)-L\right|<\epsilon$ ＂，或以正式的逻辑符号表述为

$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,x>\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]$

则称 $L$ 为实函数 $f$ 于正无穷大（ $\infty$ ）的极限，记作 $\lim _{x\to \infty }f(x)=L$ 类似的，若假设＂对所有的 $\delta <0$ 存在 $x\in D_{f}$ 使得 $x<\delta$ ＂，那在这种条件下，$L\in \mathbb {R}$，且若＂对所有 $\epsilon >0$，存在 $\delta <0$，使得对所有的 $x\in D_{f}$ 只要 $x<\delta$ 时，有$\left|f(x)-L\right|<\epsilon$ ＂，或以正式的逻辑符号表述为

$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta <0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,x<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]$

则称 $L$ 为实函数 $f$ 于负无穷大（ $-\infty$ ）的极限，记作$\lim _{x\to -\infty }f(x)=L$

制限极限

直观上来讲，从数线左边逼近或右边逼近应该会得到一样的极限，为了把这个概念推广，需要函数限制的极限（也就是缩小定义域后的极限）：

定理

若 $A\cup B=D_{f}$ 且 $a$ 同时为 $A$ 和 $B$ 的极限点，则

$\lim _{x\to a}f(x)=L$

等价于

$\lim _{x\to a}f|_{A}(x)=L$ 且 $\lim _{x\to a}f|_{B}(x)=L$

上述定理的证明只须注意到 $a$ 也必为 $D_{f}$ 的极限点，然后把函数极限的定义展开，考虑到 $A\cup B=D_{f}$ ，还有对 $x\in A$ 取 $\delta _{A}$ 的和 $x\in B$ 取的 $\delta _{B}$ ，那只要取 $\delta$ 为 $\delta _{A}$ 和 $\delta _{B}$ 的最小值，对所有 $x\in D_{f}$ 就有 $(\,0<\left|x-a\right|<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)$ ；反过来由原函数 $f$ 推出 $f|_{A}$ 和 $f|_{B}$ 的状况是非常显然的。

左右极限

若取

$A={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\geq a{\big \}}$

$B={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\leq a{\big \}}$

如果假设 $a$ 同时为 $A$ 和 $B$ 的极限点，那 $A$ 和 $B$ 显然符合上面定理的要求的，而这时

$\lim _{x\to a}f|_{A}(x)=L$

这个表达式会被别称为＂ $L$ 是实函数 $f$ 于 $a$ 的右极限＂，也可以用 $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=L$ 表示。

类似的

$\lim _{x\to a}f|_{B}(x)=L$

这个表达式会被别称为＂ $L$ 是实函数 $f$ 于 $a$ 的左极限＂，也可以用 $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L$ 表示。

常用公式

有理函数

以下公式中，$n>0,a>1$。

• $\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x^{n}}}=0$
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{a^{x}}}=0$
• $\lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty$
• $\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .$

无理函数

• $\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=1$
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e$

三角函数

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {\sin x}{x}}=0$

指数函数

• $\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1$

对数函数

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$
• $\lim _{x\to +\infty }\ln x=+\infty$