对偶性 (最佳化)

在最优化理论中的对偶（duality）或对偶性原则（duality principle）是指最佳化问题可以用两种观点来看待的理论，两种观点分别是“原始问题”（primal problem）及“对偶问题”（dual problem）。对偶问题的解提供了原始问题（假设是最小化问题）的下限，不过一般而言，原始问题和对偶问题的最佳解不相同。两个最佳解的差距为对偶间隙。若是凸优化问题，对偶间隙也称为是卡鲁什-库恩-塔克条件。

对偶问题

一般而言“对偶问题”是指“拉格朗日对偶问题”（Lagrangian dual problem），不过也有其他的对偶问题，例如Wolfe对偶问题和Fenchel对偶问题。拉格朗日对偶问题是指在最小化问题上加上拉格朗日乘数，也就是在目标函数上加上对应限制条件的非负拉格朗日乘数，再求解可将原目标函数最小的原始变数值。此解会得到以拉格朗日乘数的函数表示的原始变数，称为是“对偶变数”（dual variables），因此，新的问题就是要衍生对偶变数的限制下（包括非负的限制条件），找到可以使目标函数最大化的对偶变数。

一般而言，给定二个对偶对的分隔局部凸空间 $\left(X,X^{*}\right)$及$\left(Y,Y^{*}\right)$，以及函数$f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$，可以定义原始问题为找到${\hat {x}}$使得$f({\hat {x}})=\inf _{x\in X}f(x).\,$ 换句话说，若${\hat {x}}$存在，$f({\hat {x}})$是函数$f$的最小极值（minimum），也可以得到函数的最大下界（infimum）。

若有限制条件，可以整合到函数$f$中，方式是令$f=f+I_{\text{constraints}}$，其中$I_{\mathrm {constraints} }$是在$X$上的适当函数，在限制条件上有最小值0，可以证明$\inf _{x\in X}{\tilde {f}}(x)=\inf _{x\ \mathrm {constrained} }f(x)$。后者的条件很明显，但不一定很方便可以符合示性函数（也就是说，满足限制条件的$x$，$I_{\mathrm {constraints} }(x)=0$，在其他情形，$I_{\mathrm {constraints} }(x)=\infty$）。因此可以将${\tilde {f}}$延伸为扰动函数$F:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$使得$F(x,0)={\tilde {f}}(x)$。

对偶间隙就是不等式

$\sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})\leq \inf _{x\in X}F(x,0),\,$

左侧和右侧的差。

其中$F^{*}$是二个变数的凸共轭，而$\sup$是上确界

线性规划

主条目：对偶线性规划

线性规划问题是指损失函数和约束都是线性关系的最优化问题。原始问题中，目标函数是n个变数的线性组合，问题有m个约束，每一个都有上限，上限由n个变数的线性组合表示。其目的是要在满足限制条件的情形下，最大化目标函数的值。其解是由n个值表示的向量，可以让目标函数有最大值。

在对偶问题中，目标函数是m个值的线性组合，这些是原始问题中m个限制条件的上下限。有n个对偶限制条件，每一个的下限都是由m个对偶变数的线性组合所表示。

原始问题和对偶问题的关系

针对线性的最佳化问题，在原始问题中每一个符合限制条件的次佳点，都有一个方向（或方向的子空间），可以往目标函数增加的方向移动。若往这类的方向移动，称为除去候选解和一个或多个限制之间的松弛量（slack）。候选解中不可行的值即为超过一个或多个限制的值。

在对偶问题中，会将对偶向量和限制条件相乘，这些限制条件会决定原始问题中限制条件的位置。在对偶问题中变动对偶向量类似在原始问题中调整上限。要找到最小的上限。也就是说，要将对偶向量最小化，以移除限制的候选位置和实际最佳解之间的松弛量（slack）。对偶向量中的不可行值是指哪些太低的值。这会让候选解的一个或多个限制条件落在排除实际最佳解的位置。

在线性规划中探讨对偶性的方程式中，会对上述直觉有型式化的叙述。

非线性规划

非线性规划中的限制条件不一定是线性的，不过许多线性规划的原则还是适用。

为了确保可以简单的识别非线性规划中的全域最大值，问题一般会要求函数要是凸函数，而且有紧致的lower level sets。

由此可以看出卡鲁什-库恩-塔克条件的重要性。卡鲁什-库恩-塔克条件可以提供非线性规划问题中识别局部最佳值的必要条件。也有一些额外的必要条件（约束规范，constraint qualifications）可以用来判断可能有“最佳解”（是局部最佳解，但不一定是全域最佳解）的方式。

强拉格朗日原则：拉格朗日对偶

考虑以下形式的非线性规划：

${\begin{aligned}{\text{minimize }}&f_{0}(x)\\{\text{subject to }}&f_{i}(x)\leq 0,\ i\in \left\{1,\ldots ,m\right\}\\&h_{i}(x)=0,\ i\in \left\{1,\ldots ,p\right\}\end{aligned}}$

其定义域${\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} ^{n}$有非空的内部。其拉格朗日函数$\Lambda :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R}$定义为

$\Lambda (x,\lambda ,\nu )=f_{0}(x)+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}f_{i}(x)+\sum _{i=1}^{p}\nu _{i}h_{i}(x).$

向量$\lambda$和$\nu$是有关此问题的“对偶变数”（dual variables）或拉格朗日乘数向量（Lagrange multiplier vectors）。拉格朗日对偶函数（Lagrange dual function）$g:\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R}$定义如下

$g(\lambda ,\nu )=\inf _{x\in {\mathcal {D}}}\Lambda (x,\lambda ,\nu )=\inf _{x\in {\mathcal {D}}}\left(f_{0}(x)+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}f_{i}(x)+\sum _{i=1}^{p}\nu _{i}h_{i}(x)\right).$

对偶函数g是凹函数，就算初始问题不是凸也会如此，因为是仿射函数的点状最大下界。对偶函数提供初始问题最佳值$p^{*}$的下界：针对任意$\lambda \geq 0$及任意$\nu$，可以得到$g(\lambda ,\nu )\leq p^{*}$。

若满足约束规范（例如斯莱特条件），且原问题是凸，则可以得到强对偶$d^{*}=\max _{\lambda \geq 0,\nu }g(\lambda ,\nu )=\inf f_{0}=p^{*}$。

凸问题

针对有不等式限制的凸最小化问题

${\begin{aligned}&{\underset {x}{\operatorname {minimize} }}&&f(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&g_{i}(x)\leq 0,\quad i=1,\ldots ,m\end{aligned}}$

拉格朗日对偶问题为

${\begin{aligned}&{\underset {u}{\operatorname {maximize} }}&&\inf _{x}\left(f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)\right)\\&\operatorname {subject\;to} &&u_{i}\geq 0,\quad i=1,\ldots ,m\end{aligned}}$

其中目标函数是拉格朗日对偶函数。假设函数$f$ and $g_{1},\ldots ,g_{m}$ 连续可微，最大下界出现在梯度等于零的位置。问题

${\begin{aligned}&{\underset {x,u}{\operatorname {maximize} }}&&f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\,\nabla g_{j}(x)=0\\&&&u_{i}\geq 0,\quad i=1,\ldots ,m\end{aligned}}$

称为Wolfe对偶问题。此问题用计算的方式处理可能会很困难，因为目标函数在联合变数$(u,x)$上不是凹。而且，一般而言，等式的限制条件$\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\,\nabla g_{j}(x)$也是非线性的，因此Wolfe对偶问题一般而言会不会是凸最佳化问题。不论如何，弱对偶会成立。

历史

依照乔治·伯纳德·丹齐格所述，在丹齐格提出了线性规划问题后，约翰·冯·诺伊曼就提出了线性规划的对偶性定理的猜想。冯·诺伊曼注意到他使用了来自其博弈论中的资讯，并且猜想两人零和的矩阵博弈和线性规划等效。严谨的证明最早是由阿尔伯特·塔克和其团队发表（丹齐格在Nering和塔克1993年著作中的前言）

相关条目

• 凸共轭
• 对偶 (数学)
• Relaxation (近似)

参考资料

书籍

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论文

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• Duality in Linear Programming （页面存档备份，存于互联网档案馆） Gary D. Knott