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有理簇

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数学中的代数几何领域, 上的有理簇是一个双有理等价于射影空间 )的代数簇。有理性仅依赖于其函数域,更明确地说,代数簇 是有理簇当且仅当 ,其中 是独立的变元。

古典结果

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Lüroth 定理是关于有理簇的基本结论,它断言:对于有理函数 的子域 ,若次数 有限,而 代数闭,则 也是个有理函数域。

翻译成几何语言,这相当于说:若对代数闭域 上的代数曲线 ,存在满态射 (或称分歧覆盖),则 是有理簇。

有理簇有一个有用的性质:若 有限域-有理簇,则 中稠密。

单有理簇

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能由有理簇覆盖的代数簇称为单有理簇,用域论的语言来说,即是有理函数域 的子域 ,使得 有限。凡有理簇皆为单有理簇;在一维的情形,Lüroth 定理断言单一维的有理簇皆是有理簇。

对于复代数曲面,同样可由 Castelnuovo 定理导出单有理曲面皆为有理簇。但是在特征 时存在反例。在三维情形, Clemens 与 Griffiths 找出了反例。

例子

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文献

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  • Noether, Emmy, Rationale Funkionenkorper, J. Ber. d. DMV, 1913, 22: 316–319 .
  • Noether, Emmy, Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe, Mathematische Annalen, 1918, 78: 221–229, doi:10.1007/BF01457099 .
  • Swan, R. G., Invariant rational functions and a problem of Steenrod, Inventiones Mathematicae, 1969, 7: 148–158, doi:10.1007/BF01389798 
  • Martinet, J., Exp. 372 Un contre-exemple à une conjecture d'E. Noether (d'après R. Swan);, Séminaire Bourbaki. Vol. 1969/70: Exposés 364--381, Lecture Notes in Mathematics 180, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1971, MR0272580