朗斯基行列式

在数学中，朗斯基行列式（Wronskian）名自波兰数学家约瑟夫·玛丽亚·何内-朗斯基，是用于计算微分方程的解空间的函数。

对于给定的 n 个n-1 次连续可微函数，f₁、...、f_n，它们的朗斯基行列式 W(f₁, ..., f_n) 为：

W(f_{1},\ldots ,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}

行列式的第 i 列是f₁、...、f_n 各函数的 i-1 次导数。组成这个行列式的 n 阶方阵也称作这 n 个函数的基本矩阵。

在解线性微分方程时，朗斯基行列式可以用阿贝尔恒等式来计算。

朗斯基行列式与线性无关解

朗斯基行列式可以用来确定一组函数在给定区间上的线性相关性。

对于 n 个n-1 次连续可微函数 f₁、...、f_n，它们的朗斯基行列式 W(f₁, ..., f_n) :

W(f_{1},\ldots ,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}

定理：

如果 f₁、...、f_n 在一个区间 [a, b] 上线性相关，则 W(f₁, ..., f_n) 在区间 [a, b] 上恒等于零。

也就是说，如果在某些点上 W(f₁, ..., f_n) 不等于零，则 f₁、...、f_n 线性无关

注意，若 W(f₁, ..., f_n) 在区间 [a,b] 上恒等于零，函数组不一定线性相关。

齐次线性微分方程

考虑 n 阶线性微分方程：

{\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{n-1}(t){\frac {dx}{dt}}+a_{n}(t)x=f(t)\qquad \qquad \qquad (1)

其中 $a_{1}(t),\ a_{2}(t),\ \cdots ,\ a_{n}(t),\ f(t)$ 是区间 [a,b] 上的连续函数。并考虑 $f(t)=0$ ，即 n 阶齐次线性微分方程的情形：

{\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{n-1}(t){\frac {dx}{dt}}+a_{n}(t)x=0\qquad \qquad \qquad \quad (2)

对于一组给定的初始值：

x(0)=x_{0},\ {\frac {dx}{dt}}(0)=x_{1},\ \cdots ,\ {\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}(0)=x_{n-1}

方程 (1) 有唯一解 $x=\phi (t)$ 。如果初始值不定的话，(2) 的任一解加上 $x=\phi (t)$ 仍然是 (1) 的解。而对于 (2) ，任意k个 (2) 的解的和仍然是 (2) 的解，因此 (2) 的解集构成一个线性空间，称为 (2) 的解空间。

定理的证明

如果 f₁、...、f_n 在一个区间 [a,b] 上线性相关，则存在不全为零的系数 $c_{1},\ c_{2}\ \cdots ,\ c_{n}$ 使得对区间 [a,b] 上的任意 t，

c_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t)+\cdots c_{n}f_{n}(t)=0

因为“微分”是线性算子，所以这个等式可以“延伸”到n-1阶导数。故有以下方程组：

{\begin{cases}c_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t)+\cdots c_{n}f_{n}(t)=0\\c_{1}f_{1}'(t)+c_{2}f_{2}'(t)+\cdots c_{n}f_{n}'(t)=0\\\ldots \\c_{1}f_{1}^{(n-1)}(t)+c_{2}f_{2}^{(n-1)}(t)+\cdots c_{n}f_{n}^{(n-1)}(t)=0\end{cases}}

将 $c_{1},\ c_{2}\ \cdots ,\ c_{n}$ 看作变量，则上式变为一个 n 元齐次线性方程组，由于这个方程有非零解，系数矩阵的行列式 W(f₁, ..., f_n) = 0。

进一步可以证明， W(f₁, ..., f_n) 要么在区间 [a,b] 上恒等于零，要么处处不为零（没有零根）。于是可以证明 (2) 有 n 个线性无关的解，并且它们线性张成的空间就是 (2) 的解空间。所以， (2) 的解空间是一个 n 维线性空间。 (2) 一组 n 个线性无关的解称作它的一个基本解组。

例子

1. 考虑三个函数：1、x和x²，在任意一个区间上，他们的朗斯基行列式是：

W={\begin{vmatrix}x^{2}&x&1\\2x&1&0\\2&0&0\end{vmatrix}}=-2.

不等于零，因此，这三个函数在任一个区间上都是线性无关的。

2.考虑另三个函数：1、x²和2x²+3，在任意一个区间上，他们的朗斯基行列式是：

W={\begin{vmatrix}2x^{2}+3&x^{2}&1\\4x&2x&0\\4&2&0\end{vmatrix}}=8x-8x=0.

事实上三者线性相关。

3.上面已经提到，朗斯基行列式等于零的函数组不一定线性相关。下面是一个反例：考虑两个函数，x³和|x³|，即x³的绝对值。计算两者的朗斯基行列式

W=\left\{{\begin{matrix}{\begin{vmatrix}x^{3}&-x^{3}\\3x^{2}&-3x^{2}\end{vmatrix}}=-3x^{5}+3x^{5}=0,x<0\\{\begin{vmatrix}x^{3}&x^{3}\\3x^{2}&3x^{2}\end{vmatrix}}=3x^{5}-3x^{5}=0,x\geq 0\end{matrix}}\right.

他们的朗斯基行列式恒等于零，但两者显然线性无关。

参考

外部链接

Paul's Online Math Notes，更多的例子。（英文）（页面存档备份，存于互联网档案馆）