积分常数

积分常数是（英语：Constant of integration）指在微积分中，函数的不定积分表示式中会出现的一个待定常数，一般会用C表示，一函数的反导数有无穷多个，但其中除了积分常数不同外，其余部分均相同。

简介

任何常数函数的导数均为零，因此只要发现一个函数的反导数$F(x)$，因为$(F(x)+C)'=F\,'(x)+C\,'=F\,'(x)$，加上或减去一常数C后的函数也是反导数，积分常数可用来表示任何函数均有无限个不同的反导数。

例如，假设需要求得 $\cos(x)$的反导数，$\sin(x)$、$\sin(x)+1$及$\sin(x)-\pi$的导数都是$\cos(x)$，因此都是$\cos(x)$的反导数。

同一个函数可以有许多的反导数，而这些反导数之间只相差一个常数，因此若要列出 $\cos(x)$所有的反导数，可以用以下的通式：

$\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.$

C即为积分常数，利用下式可以确认这些函数的确都是$\cos(x)$的反导数：

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}[\sin(x)]+{\frac {d}{dx}}[C]\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}$

若利用线性代数的描述方式，微分算子可将k+1维的向量映射到k维的空间中，因此其反运算（积分）会多一个待确定的条件。

积分常数的必要性

积分常数可以设为0，而且利用微积分基本定理计算定积分时，积分常数会互相抵消，积分常数看似没有必要。

不过试图将积分常数设为0的作法不一定合理，例如$2\sin(x)\cos(x)$可以用以二种方式积分：

${\begin{aligned}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+1+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-\cos ^{2}(x)+C&=&\sin ^{2}(x)-1+C\end{aligned}}$

即使将C设为0，仍然有些积分表示式中会出现常数，也就是说有些函数不存在一种最简单的反导数。

使用积分常数的另一个原因，是有时会需要反导数在特定点为某特定值，就像是初值问题的情形一様。例如要求出$\cos(x)$的反导数，且x = π时的值为100，此时C只有一个数值才能满足此条件（此例中C = 100）。

上述限制可以用微分方程的形式来描述：求解一个函数$f(x)$的反导数也就是求解微分方程${\frac {dy}{dx}}=f(x)$。任何微分方程都有许多的解，每一个解都是一个良态初值问题的唯一解。上一段的问题中x = π时的值为100即为初始条件。每一个初值问题对应一个唯一的C值，若没有积分常数C，许多初值问题就无法求解。

不同反导数之间只差一个常数的原因

原因可以用以下定理来表示：令$F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$及$G:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$为二个处处可微的函数。假设对于所有的实数x，$F\,'(x)=G\,'(x)$都成立，则存在一实数C使得对于所有的实数x，$F(x)-G(x)=C$皆成立。

若要证明此式，由于$[F(x)-G(x)]'=0$，因此以下用F-G来代替F，而用常数函数0来代替G，待证明为一个处处可微，导数恒为0的函数一定是常数：

选择一实数a，令$C=F(a)$。针对任意的x，依照微积分基本定理可得

${\begin{aligned}\int _{a}^{x}0\,dt&=F(x)-F(a)\\&=F(x)-C,\end{aligned}}$

因此可得$F(x)=C$，因此F为常数函数。

证明过程中，有二个条件相当重要。首先，实数数线为连通空间，若实数数线不是连通空间，就无法从固定的a点积分到任意的x点。例如一函数只在[0,1]及[2,3]的区间有定义，而a为0，因为函数在1到2之间没有定义，不可能从0积分到3。此时会有二个常数，分别对应定义域中的二个连通空间。一般而言，若将常数改为局部常数函数s，可以将此定理延伸到不连通的空间中。例如$\textstyle \int dx/x$有二个积分常数，而$\textstyle \int \tan x\,dx,$有无限个积分常数。1/x积分的一般式为：

$\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}$

再者，F和G的条件需是处处可微的函数，若F及G在某一点不可微，则以上定理不成立。例如令$F(x)$单位阶跃函数，在x负值时为0，在x非负时为1，令$G(x)=0$。F在有定义导数的区域，其导数为0，G的导数恒为0，但F及G不只差一个常数而已。

甚至假设F及G为处处连续，几乎处处可微，则以上定理仍然不成立。康托函数和常数函数0就是这样的例子。