胡列维茨定理

在数学中，胡列维茨定理是代数拓扑的一个基本结论。定理通过“胡列维茨同态”将同伦论与同调论联系起来，是庞加莱此前部分结论的推广。胡列维茨定理以维托尔德·胡列维茨（英语：Witold Hurewicz）命名。

定理陈述[编辑]

胡列维茨定理是连接同伦群和同调群的关键一环。

对于任意空间 $X$ 和任意正整数 $k$ ，都存在群同态（构造见本小节末尾）

h_{\ast }\colon \,\pi _{k}(X)\to H_{k}(X)\,\!

称为从 $k$ 阶同伦群到 $k$ 阶（整系数）同调群的胡列维茨同态。当 $k=1$ 且 $X$ 道路连通时，胡列维茨同态等价于标准的阿贝尔化映射

h_{\ast }\colon \,\pi _{1}(X)\to \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X).\,\!

胡列维茨定理声明，若 $X$ 是(n -1)-连通空间，那么对于所有 $k\leq n$ ，胡列维茨同态都是群同构（当 $n\geq 2$ ）或阿贝尔化（当 $n=1$ ）。特别地，定理说明第一同伦群（即基本群）的阿贝尔化同构于第一同调群：

H_{1}(X)\cong \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)].\,\!

因此，如果 $X$ 道路连通且 $\pi _{1}(X)$ 是完美群，那么 $X$ 的第一同调群为零。

此外，当 $X$ 是(n -1)-连通时（ $n\geq 2$ ），胡列维茨同态 $\pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)$ 都是满同态（满射）。

胡列维茨同态由如下方式给定：设 $u_{n}\in H_{n}(S^{n})$ 为标准生成元，那么胡列维茨映射将同伦类 $f\in \pi _{n}(X)$ 映射到 $f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)$ 。

拓扑空间的胡列维茨定理对于n-连通、满足阚条件的单纯集合也有对应陈述。^[1]

设 $X$ 为单连通拓扑空间，并对于所有 $i\leq r$ 满足 $\pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0$ 。那么胡列维茨映射

h\otimes \mathbb {Q} :\pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )

对于 $1\leq i\leq 2r$ 为同构，且对于 $i=2r+1$ 是满射。^[2]^[3]

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