莱默平均

莱默平均（Lehmer mean）是一种与幂平均类似的广义平均数，由美国数学家德里克·亨利·莱默提出。

定义

若 $p$ 是任意实数，则可定义正实数组 $\mathbf {x}$ 的 $p$ 次莱默平均为

$L_{p}(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}}}.$

若 $w_{k}$ 是一组正实数，则可定义加权莱默平均为

$L_{p,w}(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=1}^{n}w_{k}\cdot x_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^{n}w_{k}\cdot x_{k}^{p-1}}}.$

性质

莱默平均可以看成是关于幂指数的函数，定义莱默平均函数 $p\mapsto L_{p}(\mathbf {x} )$ ，则莱默平均函数的导数是非负的：

${\frac {\partial }{\partial p}}L_{p}(\mathbf {x} )={\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=j+1}^{n}\left[x_{j}-x_{k}\right]\cdot \left[\ln(x_{j})-\ln(x_{k})\right]\cdot \left[x_{j}\cdot x_{k}\right]^{p-1}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}\right)^{2}}}\geq 0$

因此，莱默平均函数是单调增函数且有如下莱默平均不等式：

$p\leq q\rightarrow L_{p}(\mathbf {x} )\leq L_{q}(\mathbf {x} )$

加权形式亦有此结论。

特例

• $\lim _{p\to -\infty }L_{p}(\mathbf {x} )$ 即$\mathbf {x}$这组数的最小值.
• $L_{0}(\mathbf {x} )$即调和平均数.
• $L_{\frac {1}{2}}\left((x_{1},x_{2})\right)$即 $x_{1}$ 和$x_{2}$的几何平均数 .
• $L_{1}(\mathbf {x} )$ 即 算术平均数.
• $L_{2}(\mathbf {x} )$ 即反调和平均数.
• $\lim _{p\to \infty }L_{p}(\mathbf {x} )$ 即$\mathbf {x}$这组数的最大值.

参见条目

• 平均
• 幂平均
• 平方平均
• 算术平均
• 几何平均
• 调和平均
• 海伦平均（Heronian mean）
• 算术几何平均不等式