随机程序的时频分析

随机程序（random process）代表一讯号x(t)在任意时间点的值皆可视为一随机变数（random variable），我们无法知道一随机程序随时间变化的精确数值，只能借由他的期望值（mean）和自相关函数（autocorrelation）来了解它的形态。

广义的稳态

若一随机程序的期望值为定值（m）且自相关函数只和时间差（τ=|t2-t1|）有关和绝对时间（t）无关，如下表示

$E[x(t)]=m$

$R_{xx}(t_{1},t_{2})=R_{xx}(\tau )$

则工程上定义此随机程序为广义的稳态（wide sence stationary, WSS）随机程序。

广义的稳态随机程序的时频分析

韦格纳分布

时频分析为一种可以观测目标讯号任意时间的频谱分布的工具，其中一种分析方法为韦格纳分布。

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau$

由于韦格纳分布是利用自相关函数来取得时频分析，若目标讯号为一广义的稳态随机程序时，其时频图的期望值刚好可以利用到

$R_{xx}(t_{1},t_{2})=R_{xx}(\tau )$

最后得到结果为该广义的稳态随机程序的能量密度频谱（power density spectrum, PDS）

推导如下

$E[W_{x}(t,f)]=\int _{-\infty }^{\infty }E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau$

$=\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(t+\tau /2,t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau$

$=\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau$

$=\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau$

$=FT[R_{xx}(\tau )]$

$=S_{xx}(f)$

这结果在时频图上的显示就是能量密度频谱的值不会随着时间轴有所改变。

模棱函数

另一种常用的时频分析工具就是模棱函数（ambiguity function），和韦格纳分布的差别在于韦格纳分布是对τ做傅立叶转换，而模棱函数是对t做傅立叶转换。

广义的稳态随机程序的模棱函数会变成只有在η=0的时候才会有值，其余皆为零。

推导如下

$E[A_{x}(\eta ,\tau )]=\int _{-\infty }^{\infty }E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]e^{-j2\pi t\eta }dt$

$=\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(t+\tau /2,t-\tau /2)e^{-j2\pi t\eta }dt$

$=\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-j2\pi t\eta }dt$

$=R_{xx}(\tau )\delta (\eta )$

参考文献

• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2012.
• W. Martin, “Time-frequency analysis of random signals”, ICASSP’82, pp. 1325-1328, 1982.