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Horofunction

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数学上,horofunction是定义在一个完备度量空间X上的函数,是X上的距离函数的极限。horofunction是米哈伊尔·格罗莫夫Busemann function英语Busemann function推广而引入的概念。

定义

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设(X,d)为完备度量空间。取基点。对任一点,定义距离函数

这个函数连续,因此在X的连续函数空间C(X)中。在空间C(X)中赋以sup范数,建立的映射

易知这个映射是等距嵌入,称为Kuratowski嵌入

考虑商空间,并以在X中的有界集一致收敛作为拓扑。把C(X)投射到C',得到从X中的嵌入。这个嵌入不依赖于基点o

X是可数紧致的。定义X中的闭包,则称为X的horofunction紧致化(horofunction compactification)。又定义边界,则称为Xhorofunction边界(horofunction boundary)。一个连续函数 称为horofunction ,如果h投射到的像b是在内。称hb为中心的horofunction。集合称为开horoball,而则称为horosphere

参考

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