伯恩賽德引理
伯恩賽德引理(Burnside's lemma),也叫伯恩賽德計數定理(Burnside's counting theorem),柯西-弗羅貝尼烏斯引理(Cauchy-Frobenius lemma)或軌道計數定理(orbit-counting theorem),是群論中一個結果,在考慮對稱的計數中經常很有用。該結論被冠以多個人的名字,其中包括威廉·伯恩賽德、波利亞、柯西和弗羅貝尼烏斯。這個命題不屬於伯恩賽德自己,他只是在自己的書中《有限群論 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了,而將其歸於弗羅貝尼烏斯 (1887)[1]。
下文中,設 是一個有限群,作用在集合 上。對每個 屬於 令 表示 中在 作用下的不動元素。伯恩賽德引理斷言軌道數(記作 )由如下公式給出:[2]
從而軌道數(是一個自然數或無窮)等於被 G 中一個元素保持不動的點個數的平均值(故同樣是自然數或無窮)。
應用舉例
[編輯]使用三種顏色對立方體的面染色,旋轉後相同的視為一種,染色方式總數可以由這個公式確定。
選取一個定向,設 X 是這個定向立方體所有 36 種可能面染色組合,立方體的旋轉群自然作用在 X 上。則 X 的兩個元素屬於同一軌道恰好是一個是另一個的旋轉。旋轉不同的染色數就是軌道數,可以通過數 G 的 24 個元素的不動集合的大小求出來。
- 一個恆同元素保持 X 的所有 36 個元素不變。
- 六個 90 度面旋轉,每一個保持 X 的 33 個元素不變。
- 三個 180 度面旋轉,每一個保持 X 的 34 個元素不變。
- 八個 120 度頂點旋轉,每一個保持 X 的 32 個元素不變。
- 六個 180 度邊旋轉,每一個保持 X 的 33 個元素不變。
這些自同構的詳細檢驗可參見循環指標。
這樣,平均不動集合的大小是
從而有 57 種旋轉不同的立方體面 3 色染色方式。一般地,使用 n 種顏色,立方體不同的旋轉面染色數是
證明
[編輯]定理的證明利用軌道-中心化子定理以及 X 是軌道的不交並的事實:
歷史:該引理不屬於伯恩賽德
[編輯]威廉·伯恩賽德在他1897年關於有限群的書中陳述並證明了這個引理,將其歸於弗羅貝尼烏斯 1887。不過在弗羅貝尼烏斯以前,這個公式在1845年已經為柯西所知。事實上,這個引理明顯如此有名,伯恩賽德不過忽略了將其歸於柯西。因此,這個引理有時候也稱為不是伯恩賽德的引理 [3]。這可能看起來不那麼有歧義,伯恩賽德對這個領域貢獻了許多引理。
注釋
[編輯]另見
[編輯]參考文獻
[編輯]- 伯恩賽德, 威廉, Theory of groups of finite order, Cambridge University Press, 1897.
- 弗羅貝尼烏斯, 費迪南德·格奧爾格, Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul, Crelle, 1887, CI: 288.
- 紐曼, 彼得·邁克爾, A lemma that is not Burnside's, The Mathematical Scientist, 1979, 4 (2): 133–141, ISSN 0312-3685, MR562002.
- Cheng, Yuanyou (程遠遊), A generalization of Burnside's lemma to multiply transitive groups, journal of Hubei University of Technology, 1986, ISSN 1003-4684.
- Rotman, Joseph, An introduction to the theory of groups, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94285-8.