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偽阿諾索夫映射

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數學拓撲學中,偽阿諾索夫(Аносов)映射是曲面的一種同胚微分同胚,是環面上的線性阿諾索夫微分同胚的推廣。偽阿諾索夫映射的定義用到威廉·瑟斯頓提出的測度葉狀結構概念。「偽阿諾索夫映射」這一名詞,也是他證明曲面的微分同胚分類時所創。

測度葉狀結構

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一個閉曲面S上的測度葉狀結構,是S上的一個幾何結構,包含一個奇異葉狀結構和橫截方向的一個測度。在F的一個正則點的某個鄰域中,有一個「流盒」(flow box)φ: UR2,將F的葉映射至R2的水平線。當兩個這樣的鄰域Ui, Uj相交,便有一個轉移函數φijφj(Uj)上定義,有標準性質

這函數必有形式

其中c是某個常數。如此便保證了沿著一條簡單曲線,用各個局部圖卡測量的y座標的變差,是一個幾何量(即獨立於圖卡),因此能夠對S上的簡單閉曲線定義全變差。容許F有有限多個「p-叉鞍」(p-pronged saddle)類型的奇異點(p≥3)。於每個奇異點處,改變曲線的微分結構,令奇異點變為全角度πp的錐頂點(conical point)。相對這個變更了的微分結構,來重新定義S的微分同胚概念。這些定義作技術上的改變,就可以延伸到有邊界的曲面。

偽阿諾索夫映射的定義

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閉曲面S的一個同胚

稱為偽阿諾索夫,若S上存在測度葉狀結構的一個橫截對Fs (穩定)及Fu (不穩定),及一個實數λ > 1,使得f保持這對葉狀結構不變,而葉狀結構的橫截測度分別乘上1/λλ。這數量λ稱為f拉伸因子(stretch factor或dilatation)。

重要性

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瑟斯頓構造了曲面S泰希米勒空間T(S)的一個緊化,令S的任何微分同胚f誘導在T(S)上的作用,可以延伸成瑟斯頓緊化上的一個同胚。當f是偽阿諾索夫時,這個同胚的動態系統最為簡單:在這情況下,在瑟斯頓邊界有兩個固定點,一吸引一排斥,而同胚的行為類似龐加萊半平面的雙曲自同構。在虧格至少2的曲面上,一個「平常」的微分同胚是同痕於一個偽阿諾索夫微分同胚。

參考

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  • A. Casson, S. Bleiler, "Automorphisms of Surfaces after Nielsen and Thurston", (London Mathematical Society Student Texts 9), (1988).
  • A. Fathi, F. Laudenbach, and V. Poénaru, "Travaux de Thurston sur les surfaces," Asterisque, Vols. 66 and 67 (1979).
  • R.C. Penner. "A construction of pseudo-Anosov homeomorphisms", Trans. Amer. Math. Soc., 310 (1988) No 1, 179–197
  • Thurston, William P., On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces, American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 1988, 19 (2): 417–431, ISSN 0002-9904, MR 0956596, doi:10.1090/S0273-0979-1988-15685-6