示波器上的利薩茹圖形
三維利薩茹圖形
數學上,利薩茹(Lissajous)曲線(又稱利薩茹圖形、李薩如圖形或鮑迪奇(Bowditch)曲線)是兩個沿著互相垂直方向的正弦振動的合成的軌跡。
納撒尼爾·鮑迪奇在1815年首先研究這一族曲線,朱爾·利薩茹在1857年作更詳細研究。
利薩茹曲線由以下參數方程定義:
![{\displaystyle {\begin{cases}x(\theta )=a\sin(\theta )\\y(\theta )=b\sin(n\theta +\phi )\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df762f1f214669a9cdb54729a4e03abfb138184a)
其中
,
。
稱為曲線的參數,是兩個正弦振動的頻率比。若比例為有理數,則
,參數方程可以寫作:
,
其中
。
- 若
為無理數,曲線在長方形
中稠密。
- 若
為有理數,
- 曲線是
次代數曲線若
對奇數
,或
對偶數
。
- 曲線是
次代數曲線的一部份若
對奇數
,或
對偶數
。
- 若
為偶數而
,或若
為奇數而
,則曲線是第
個切比雪夫多項式
的曲線的一部份。
- 若
,
,則曲線是橢圓。
- 若
,則這橢圓其實是圓。
- 若
,則這橢圓其實是線段。
- 若
,
(所以
),則曲線是besace。
- 若
,則這besace是拋物線一部份。
- 若
,則這besace是一個熱羅諾雙紐線。
以下是利薩茹曲線的例子,其中
,
,
是奇數,
是偶數,
。
-
p = 1, q = 2
-
p = 3, q = 2
-
p = 3, q = 4
-
p = 5, q = 4
-
p = 5, q = 6
-
p = 9, q = 8
-
Δφ
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1:1
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1:2
|
1:3
|
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2:1
|
0
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¹/₄·π
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¹/₂·π
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³/₄·π
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1·π
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1¹/₄·π
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1¹/₂·π
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1³/₄·π
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2·π
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Δφ
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2:3
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Δφ
|
3:4
|
0
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|
0
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¹/₂·¹/₄·π
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¹/₃·¹/₄·π
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¹/₂·¹/₂·π
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¹/₃·¹/₂·π
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¹/₂·³/₄·π
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¹/₃·³/₄·π
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¹/₂·π
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¹/₃·π
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5/8·π
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5/12·π
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³/₄·π
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¹/₂·π
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7/8·π
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7/12·π
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1·π
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²/₃·π
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滑鼠懸浮在兩個數字上時,通過滾輪可以調節數字大小。
藉由使用利薩茹圖形可以測量出兩個信號的頻率比與相位差。