唯一性定理 (泊松方程)

唯一性定理指出，很大一部分的具有邊界條件的泊松方程，可能有很多個解，但所有解的梯度都是相同的。在靜電學的情況下，這意味著在邊界條件下的泊松方程所解得的勢函數具有唯一確定的電場。

證明

在高斯單位制，靜電學中的泊松方程的一般表達是

\mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \varphi )=-\rho _{f}

其中 $\varphi$ 是電勢， $\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi$ 是電場。

對於很大一部分的邊值條件，勢函數的梯度的唯一性（即電場的唯一性）可以如下證明。

反證，假設電勢有兩個解 $\varphi _{1}$ 和 $\varphi _{2}$ 。令 $\phi =\varphi _{2}-\varphi _{1}$ ，也就是兩個解的差。已知 $\varphi _{1}$ 和 $\varphi _{2}$ 均滿足泊松方程， $\phi$ 必須滿足

\mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=0

應用一個恆等式

\nabla \cdot (\phi \epsilon \,\nabla \phi )=\epsilon \,(\nabla \phi )^{2}+\phi \nabla \cdot (\epsilon \,\nabla \phi )

注意到右邊第二項恆等於零，於是可以將方程改寫為

\mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}

在邊值條件所確定的邊界內對體積進行積分

\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )d^{3}\mathbf {r} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r}

應用散度定理，上式可以改寫為

\sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r}

其中 $S_{i}$ 是邊值條件確定的曲面邊界。

由於 $\epsilon >0$ 且 ( ${\mathbf {\nabla } }\phi )^{2}\geq 0$ ，那麼當上式左邊的曲面積分等於零的時候， ${\mathbf {\nabla } }\phi$ 必須處處為零（即得 ${\mathbf {\nabla } }\varphi _{1}={\mathbf {\nabla } }\varphi _{2}$ )。

這就意味著，該方程的解的梯度是唯一確定的，若且唯若如下條件成立

\sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \,\mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =0

使得上式成立的邊值條件包括：

狄利克雷邊界條件： $\varphi$ 在曲面邊界有定義。因此 $\varphi _{1}=\varphi _{2}$ 。於是，在邊界任意位置 $\phi =0$ ，上式成立。
諾伊曼邊界條件： ${\mathbf {\nabla } }\varphi$ 在曲面邊界有定義。因此 ${\mathbf {\nabla } }\varphi _{1}={\mathbf {\nabla } }\varphi _{2}$ 。於是，在邊界任意位置 ${\mathbf {\nabla } }\phi =0$ ，上式成立。
修改過的諾伊曼邊界條件（也稱為羅賓邊界條件——其中假設邊界都是帶有已知電荷的導體）：只需在邊界應用高斯定律， ${\mathbf {\nabla } }\varphi$ 也是有定義的。因此，上式成立。
混合邊值條件（上述三個條件的組合）：唯一性定理仍然成立。

邊界曲面還可以是無窮遠的邊界（即所求的電勢所在的區域沒有邊界）。在這種情況下，只要上述的曲面積分等於零，唯一性定理仍然成立。舉個例子，當被積函數下降的速度比表面積快的時候，該積分趨近於零。

參看

參考文獻

L.D. Landau, E.M. Lifshitz. The Classical Theory of Fields Vol. 2 4th. Butterworth–Heinemann. 1975. ISBN 978-0-7506-2768-9.
J. D. Jackson. Classical Electrodynamics 3rd. John Wiley & Sons. 1998. ISBN 978-0-471-30932-1.