德汝德模型
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電傳導的德汝德模型在1900年[1] [2] 由保羅·德汝德提出,以解釋電子在物質(特別是金屬)中的輸運性質。這個模型是分子運動論的一個應用,假設了電子在固體中的微觀表現可以用古典的方法處理,很像一個彈珠台,其中電子不斷在較重的、相對固定的正離子之間來回反彈。
德汝德模型的兩個最重要的結果是電子的運動方程式:
在這裡,代表時間,、、、和分別代表電子的動量、電荷、數密度、質量、以及與離子碰撞之間的平均自由時間。後一個表達式尤其重要,因為它用半定量的術語解釋了為什麼歐姆定律(電磁學中最普遍存在的一個關係)應該是正確的。[3] [4] [5]
解釋
[編輯]直流電場
[編輯]德汝德模型最簡單的分析,假設了電場既是均勻的又是恆定的,且電子的熱速度足夠大,使得它們在碰撞之間僅僅積累了無窮小的動量,這平均每隔秒發生一次。[3]
於是,在時間分離的電子自從它上一次碰撞將平均運動了秒,因此將積累了動量:
在它上一次碰撞期間,這個電子向前面反彈的機會將剛剛與向後面反彈的機會相等,因此所有對電子動量的之前的貢獻都可以忽略,便得到表達式:
代入以下關係:
便得出上面提到的歐姆定律的表述:
時變分析
[編輯]電子的運動也可以通過引入一個有效的阻力來描述。在時間,電子的平均動量將為:
由於平均來說,個電子將不經歷另外一次碰撞,而那些經歷另外一次碰撞的電子將對總的動量僅有可忽略的貢獻。[6]
經過一番計算,便得出以下的微分方程式:
其中表示平均動量,m表示有效質量,q表示電子的電荷。這是一個非齊次微分方程式,它的通解為:
於是,穩態解()為:
像上面一樣,平均動量可以與平均速度有關,而這又可以與電流密度有關:
德汝德模型還可以預言在角頻率為的時變電場的響應下的電流,在這種情況下:
這裡假設了
還存在另一種慣例,所有方程式中的都用來代替。虛數部分表示電流落後於電場,這是由於電子大約需要時間來對電場的變化作出響應。這裡德汝德模型是應用於電子的;它既可以應用於電子,又可以應用於電洞,也就是說,半導體中的正電荷載流子。
模型的準確性
[編輯]這個簡單、古典的德汝德模型提供了金屬中的直流電和交流電傳導、霍爾效應,以及熱傳導的非常好的解釋。這個模型也解釋了1853年發現的魏德曼-弗朗茨定律。然而,它大大高估了金屬的電子熱容。實際上,金屬和絕緣體在常溫下的熱容大致上相等。雖然模型可以應用於正電荷(電洞)載流子,像霍爾效應所驗證的那樣,它並不預言它們的存在。
德汝德在最初的論文中犯了一個概念性的錯誤,他估計電導率僅有實際值的一半。[7]
參見
[編輯]參考文獻
[編輯]- ^ Drude, Paul. Zur Elektronentheorie der metalle. Annalen der Physik. 1900, 306 (3): 566.[永久失效連結]
- ^ Drude, Paul. Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte. Annalen der Physik. 1900, 308 (11): 369.[永久失效連結]
- ^ 3.0 3.1 Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 6–7. ISBN 0-03-083993-9.
- ^ Edward M. Purcell. Electricity and Magnetism. McGraw-Hill. 1965: 117–122. ISBN 978-0070049086.
- ^ David J. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. Prentice-Hall. 1999: 289. ISBN 978-81-203-161-0 請檢查
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值 (幫助). - ^ Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 11. ISBN 0-03-083993-9.
- ^ Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 23. ISBN 0-03-083993-9.
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