收斂矩陣

線性代數中，收斂矩陣是在求冪過程中收斂到零矩陣的矩陣。

背景

矩陣T的冪隨次數增加而變小時（即T的所有項都趨近於0），T收斂到零矩陣。可逆矩陣A的正則分裂會產生收斂矩陣T。A的半收斂分裂會產生半收斂矩陣T。將T用於一般的迭代法，則對任意初向量都是收斂的；半收斂的T則要初向量滿足特定條件才收斂。

定義

n階方陣T若滿足

$\forall i=1,\ 2,\ \dots ,\ n,\ j=1,\ 2,\ \dots ,\ n,\ \lim _{k\to \infty }(\mathbf {T} ^{k})_{ij}=0,$

(1)

則稱T是是收斂矩陣。

例子

令

${\begin{aligned}&\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]0&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

T的冪是

${\begin{aligned}&\mathbf {T} ^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{4}}\\[4pt]0&{\frac {1}{16}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{3}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{64}}&{\frac {3}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{64}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{4}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{256}}&{\frac {1}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{256}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{5}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{1024}}&{\frac {5}{512}}\\[4pt]0&{\frac {1}{1024}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathbf {T} ^{6}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4096}}&{\frac {3}{1024}}\\[4pt]0&{\frac {1}{4096}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

綜之，

${\begin{aligned}\mathbf {T} ^{k}={\begin{pmatrix}({\frac {1}{4}})^{k}&{\frac {k}{2^{2k-1}}}\\[4pt]0&({\frac {1}{4}})^{k}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

由於

$\lim _{k\to \infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{k}=0$

$\lim _{k\to \infty }{\frac {k}{2^{2k-1}}}=0,$

T是收斂矩陣。注意其譜半徑$\rho (\mathbf {T} )={\frac {1}{4}}$，因為${\frac {1}{4}}$是T唯一的特徵值。

特徵

設T是n階方陣，則下列表述等價於T的收斂矩陣：

1. 對某自然範數，$\lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0$
2. 對所有自然範數，$\lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0$
3. $\rho (\mathbf {T} )<1$
4. $\forall \mathbb {x} ,\ \lim _{k\to \infty }\mathbf {T} ^{k}\mathbf {x} =\mathbf {0}$

迭代法

主條目：迭代法

一般的迭代法包含將線性方程組

$\mathbf {Ax} =\mathbf {b}$

(2)

轉為等價方程組

$\mathbf {x} =\mathbf {Tx} +\mathbf {c}$

(3)

的過程。選定初向量$\mathbf {x} ^{(0)}$，近似解向量序列的生成由

$\forall k\geq 0,\ \mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {Tx} ^{(k)}+\mathbf {c}$

(4)

對任意初向量$\mathbf {x} ^{(0)}\in \mathbb {R} ^{n}$，序列$\lbrace \mathbf {x} ^{\left(k\right)}\rbrace _{k=0}^{\infty }$由(4)定義，$\forall k\geq 0,\ \mathbf {c} \neq 0$，若且唯若$\rho (\mathbf {T} )<1$收斂於(3)的唯一解，即T是收斂矩陣。

正則分裂

主條目：矩陣分裂

矩陣分裂是用多個矩陣的和或差表示矩陣。對(2)所示的線性方程組，若A可逆，則A就可分裂為

$\mathbf {A} =\mathbf {B} -\mathbf {C}$

(5)

於是(2)可重寫為(4)。若且唯若$\mathbf {B} ^{-1}\geq \mathbf {0} ,\ \mathbf {C} \geq \mathbf {0}$時，(5)式是A的正則分裂；即$\mathbf {B} ^{-1},\ \mathbf {C}$只有非負元素。若分裂(5)是A的正則分裂、且$\mathbf {A} ^{-1}\geq \mathbf {0}$，則$\rho (\mathbf {T} )<1$，T是收斂矩陣，迭代法(4)收斂。

半收斂矩陣

n階方陣T，若極限

$\lim _{k\to \infty }\mathbf {T} ^{k}$

(6)

存在，則稱之為半收斂矩陣。若A可能奇異，而(2)齊次，即b在A的範圍內，則若且唯若T是半收斂矩陣時，對任何初向量$\mathbf {x} ^{(0)}\in \mathbb {R} ^{n}$，(4)定義的序列收斂到(2)的解。這時，分裂(5)稱作A的半收斂分裂。

另見

• 高斯-賽德爾迭代
• 雅可比法
• 矩陣列表
• 冪零矩陣
• 逐次超鬆弛迭代法

參考文獻

• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas, Numerical Analysis 5th, Boston: Prindle, Weber and Schmidt, 1993, ISBN 0-534-93219-3  含有內容需登入查看的頁面 (link).
• Isaacson, Eugene; Keller, Herbert Bishop, Analysis of Numerical Methods, New York: Dover, 1994, ISBN 0-486-68029-0 .
• Carl D. Meyer, Jr.; R. J. Plemmons. Convergent Powers of a Matrix with Applications to Iterative Methods for Singular Linear Systems. SIAM Journal on Numerical Analysis. Sep 1977, 14 (4): 699–705. doi:10.1137/0714047. 
• Varga, Richard S. Factorization and Normalized Iterative Methods. Langer, Rudolph E. (編). Boundary Problems in Differential Equations. Madison: University of Wisconsin Press. 1960: 121–142. LCCN 60-60003. 
• Varga, Richard S., Matrix Iterative Analysis, New Jersey: Prentice–Hall, 1962, LCCN 62-21277 .