條件收斂

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條件收斂數學無窮級數廣義積分的一種性質。收斂但不絕對收斂的無窮級數或廣義積分稱為條件收斂的。一個積分條件收斂的函數也稱為條件可積函數。

詳細定義[編輯]

條件收斂的級數[編輯]

給定一個實數項無窮級數,如果它自身收斂於一個定值

但由每一項的絕對值構成的正項級數:不收斂:

那麼就稱這個無窮級數是一個條件收斂的無窮級數。[1]:149

條件收斂的廣義積分[編輯]

給定一個在區間上有定義的函數,如果在任意的閉區間上都可積,並且廣義積分:

收斂,而函數絕對值的廣義積分:

發散,那麼就稱廣義積分條件收斂。[2]:104

例子[編輯]

無窮級數[編輯]

常見的條件收斂的無窮級數包括交錯調和級數

它收斂到定值:,而對應的由每項的絕對值構成的正項函數:叫做調和級數,是發散的。

廣義積分[編輯]

條件收斂的廣義積分的一個例子是函數:在正實數軸上的積分:

任取實數,運用分部積分法可以得到:

而對任意的正實數

柯西收斂原理可知廣義積分收斂,所以

即積分:收斂。但是,絕對值函數的積分:不收斂。這是因為對任意自然數,積分:

所以

因此,積分是條件收斂的。[2]:104-106

相關定理[編輯]

  • 黎曼級數定理:假設是一個條件收斂的無窮級數。對任意的一個實數,都存在一種從自然數集合到自然數集合的排列,使得

此外,也存在另一種排列,使得

類似地,也可以有辦法使它的部分和趨於,或沒有任何極限。[3]:192

反之,如果級數是絕對收斂的,那麼無論怎樣重排,它仍然會收斂到同一個值,也就是級數的和。[3]:193

參見[編輯]

參考來源[編輯]

  1. ^ J. A. Fridy. Introductory analysis: the theory of calculus. Gulf Professional Publishing. 2000. ISBN 9780122676550. 
  2. ^ 2.0 2.1 清華大學數學科學系. 《微積分》. 北京: 清華大學出版社有限公司. 2003. ISBN 9787302069171. 
  3. ^ 3.0 3.1 S. Ponnusamy. Foundations of mathematical analysis. Springer. 2012. ISBN 9780817682927.