測度收斂

測度收斂是測度論中的一個概念： 假設可測空間上有一個有趣卻很難直接構造的測度μ，我們希望能找到一列相對容易構造或分析的測度 $\mu _{n}$ ，隨著 $n$ 的增大， $\mu _{n}$ 的性質與 $\mu$ 越來越相似。 '越來越相似' 和一般的 序列的極限的想法一致：對於任何可接受的誤差 $\varepsilon >0$ ，只要 $N$ 充分大， 對於任何 $n\geqslant N$ ， $\mu _{n}$ 和 $\mu$ 之間的'差別'小於 $\varepsilon$ 。 收斂的定義也就取決於'差別'的定義。 這些定義可能互相不等價，強弱有別。

下面介紹3種最常見的測度收斂的定義。

測度的弱收斂

在數學和統計學中, 弱收斂 (即為泛函分析中的 弱*收斂)是 測度論中廣泛應用的一種收斂。 下面是幾種測度弱收斂的等價定義。 這些等價定義被稱為 portmanteau定理.

定義 $S$ 為擁有 Borel σ-代數 $\Sigma$的 度量空間 。我們稱一列(S, Σ)上的 概率測度 $P_{n}$ , $n=1,2,...$ 弱收斂於概率測度 $P$ ,（記為

$P_{n}\Rightarrow P$）

如果下面任何一條條件得到滿足 ( $E_{n}$ 為關於概率 $\mu$ 的數學期望，$E$ 為關於概率 $P$ 的數學期望):

• $E_{n}f\rightarrow Ef$ 對於任何有界連續的函數 $f$,
• $E_{n}f\rightarrow Ef$ 對於任何有界且滿足 Lipschitz條件的函數 $f$ ,
• $\limsup E_{n}f\geqslant Ef$ 對於任何有上界的 上半連續 的函數 $f$ ,
• $\liminf E_{n}f\geqslant Ef$ 對於任何有下界的 下半連續 的函數 $f$ ,
• $\limsup P_{n}(C)\geqslant P(C)$ 對於任何空間S中的閉集 $C$ ;
• $\liminf P_{n}(U)\geqslant P(U)$ 對於任何空間S中的開集 $U$ ;
• $\lim P_{n}(A)\geqslant P(A)$ 對於任何關於概率P連續的集合$A$ .

參考文獻

• Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. Basel: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. 2005. ISBN 3-7643-2428-7. 
• Billingsley, Patrick. Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1995. ISBN 0-471-00710-2. 
• Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 0-471-19745-9.