真空電容率

真空電容率，又稱為真空介電係數，或電常數，是一個常見於電磁學的物理常數，符號為 $\epsilon _{0}$ 。在國際單位制裏，真空電容率的數值為^[1]：

\epsilon _{0}\approx 8.854\ 187\ 817\dots \ \times 10^{-12}

法拉／米。

真空電容率 $\epsilon _{0}$ 可以用公式定義為

\epsilon _{0}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu _{0}{c_{0}}^{2}}}

；

其中， $c_{0}$ 是光波傳播於真空的光速^[2]， $\mu _{0}$ 是真空磁導率。

採用國際單位制， $c_{0}$ 的數值定義為^[3] $299\ 792\ 458$ 公尺／秒，但根據2019年新國際單位制， $\mu _{0}$ 的數值是近似值。因此， $\epsilon _{0}$ 的數值不是定義值，近似為^[1]

\epsilon _{0}\approx 8.854\ 187\ 817\ldots \times 10^{-12}

安培²秒⁴公斤^-1米^-3（或者法拉／米）。

這些數值都可以在2006 CODATA報告裏找到^[4]。

真空電容率出現於電位移 $\mathbf {D} \,\!$ 的定義式：

\mathbf {D} \ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,\!

；

其中， $\mathbf {E} \,\!$ 是電場， $\mathbf {P} \,\!$ 是電介質的古典電極化強度。

學術界常遇到一個錯誤的觀點，就是認為真空電容率 $\epsilon _{0}\,\!$ 是一個可實現真空的一個物理性質。正確的觀點應該為， $\epsilon _{0}\,\!$ 是一個度量系統常數，是由國際公約發表和定義而產生的結果。 $\epsilon _{0}\,\!$ 的定義值是由光波在參考系統的光速或基準（benchmark）光速的衍生而得到的數值。這參考系統稱為自由空間，被用為在其它各種介質的測量結果的比較基線。可實現真空，像外太空、超高真空（ultra high vacuum）、量子色動真空（QCD vacuum）、量子真空（quantum vacuum）等等，它們的物理性質都只是實驗和理論問題，應與 $\epsilon _{0}\,\!$ 分題而論。 $\epsilon _{0}\,\!$ 的含義和數值是一個度量衡學（metrology）問題，而不是關於可實現真空的問題。為了避免產生混淆，許多標準組織現在都傾向於採用電常數為 $\epsilon _{0}\,\!$ 的名稱。

歷史背景

如同前面所述，真空電容率 $\epsilon _{0}\,\!$ 是一個度量系統常數。它的出現於電磁量的定義方程式，主要是因為一個稱為理想化的程序。只使用純理論的推導，馬克士威方程組奇異地預測出，電磁波以光速傳播於自由空間。繼續推論這個預測，就可以給出 $\epsilon _{0}\,\!$ 的數值。若想了解為什麼 $\epsilon _{0}\,\!$ 會有這數值，必須稍微閱讀一下電磁度量系統的發展史。

在以下的講述中，請注意到我們古典物理並不特別區分「真空」和「自由空間」這兩個術語。當今文獻裏，「真空」可能指為很多種不同的實驗狀況和理論實體。在閱讀文獻時，只有上下文可以決定術語的含意。

單位理想化

查爾斯·庫侖和其它物理學家的實驗，證明庫侖定律：分開距離為 $r\,\!$ ，電量都是 $Q\,\!$ 的兩個點電荷，其交互作用於對方的力 $F\,\!$ ，可以用方程式表達為

F={\frac {k_{\mathrm {e} }Q^{2}}{r^{2}}}\,\!

；

其中， $k_{\mathrm {e} }\,\!$ 是個常數。

假若，對其它變量不加以任何約束，則 $k_{\mathrm {e} }\,\!$ 可以任意地設定。對於每一個不同的 $k_{\mathrm {e} }\,\!$ 數值設定， $Q\,\!$ 的詮釋也相隨地不同。為了要避免混淆不清，每一個不同的詮釋必須有不同的名稱和標記符號^[5]。

公分-克-秒靜電制是一個十九世紀後期建立的標準系統。在這標準系統裏，常數 $k_{\mathrm {e} }\,\!$ 的數值被設定為1，電荷量的因次被稱為高斯電荷量。這樣，作用力的方程式變為

F={\frac {{q_{s}}^{2}}{r^{2}}}\,\!

；

其中， $q_{s}\,\!$ 是高斯電荷量。

假設兩個點電荷的電荷量都是一個單位高斯電荷量，分隔距離是1公分。則兩個點電荷交互作用於對方的力是1 達因。那麼，高斯電荷量的因次也可以寫為「達因^1/2公分」。這與國際單位制的因次，「牛頓^1/2公尺」，有同樣的因次。但是，高斯電荷量與國際單位制電荷量的因次並不相同。高斯電荷量不是用庫侖來測量的。

後來，科學家覺得，對於球幾何案例，應該加入因子 $4\pi \,\!$ 於庫侖定律，表達方程式為

F=\;k'_{\mathrm {e} }{q'_{s}}^{2}/4\pi r^{2}\,\!

；

其中， $k'_{\mathrm {e} }\,\!$ 、 $q'_{s}\,\!$ 分別為新的常數和電荷量。

這個點子稱為理想化。設定 $k'_{\mathrm {e} }=1\,\!$ 。電量單位也改變了，但是，電量的因次仍舊是「達因^1/2公分」。

下一個步驟是將電量表達為一個獨自的基本物理量，標記為 $q\,\!$ ，將庫侖定律寫為它的現代形式：

F=q^{2}/4\pi \epsilon _{0}r^{2}\,\!

。

很明顯地，舊公分-克-秒靜電制裏的電量 $q_{s}\,\!$ 與新的國際標準制電量 $q\,\!$ 的關係式為

q_{s}=q/{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}\,\!

。

ε₀數值的設定

採用國際標準制，要求力的單位為牛頓，距離的單位為公尺，電荷量的單位為工程師的實用單位，庫侖，定義為1 安培的電流在1秒鐘內所累積的電荷量。那麼，真空電容率的因次應該是「庫侖²牛頓^-1公尺^-2」（或者，「法拉¹公尺^-1」）。

真空電容率的數值可以從馬克士威方程組求得。觀察在真空中的馬克士威方程組的微分形式：

\nabla \cdot \mathbf {E} =0\,\!

、

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!

、

\nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!

、

\nabla \times \mathbf {B} =\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!

;

其中， $\mathbf {E} \,\!$ 是電場， $\mathbf {B} \,\!$ 是磁感應強度。

取第四個馬克士威方程式的旋度，

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {E} )}{\partial t}}\,\!

。

將第二個馬克士威方程式（法拉第方程式）代入，則可得到

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\,\!

。

應用一個向量恆等式，

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\nabla ^{2}\mathbf {B} \,\!

。

再注意到第三個馬克士威方程式（高斯磁定律），所以，

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\nabla ^{2}\mathbf {B} \,\!

。

這樣，就可以得到光波的磁場波動方程式：

\nabla ^{2}\mathbf {B} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=0\,\!

。

以同樣的方式，也可得到光波的電場波動方程式：^{[註 1]}

\nabla ^{2}\mathbf {E} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0

。

這光波傳播的速度（光速 $c_{0}\,\!$ ）是

c_{0}=1/{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,\!

。

這方程式表達出光速、真空電容率、真空磁導率，這三個物理量的相互關係。原則上，科學家可以選擇以庫侖，或是以安培為基本電磁單位^[6]。經過仔細的考量，國際單位組織決定以安培為基本電磁單位。因此， $\mu _{0}\,\!$ 、 $c_{0}\,\!$ 的數值設定了 $\epsilon _{0}\,\!$ 的數值。若想知道如何決定 $\mu _{0}\,\!$ 的數值，請參閱條目真空磁導率。

可實現真空和自由空間

自由空間（free space）是一個理想的參考狀態，可以趨近，但是在物理上是永遠無法達到的狀態。可實現真空有時候被稱為部分真空（partial vacuum），意指需要超低氣壓，但超低氣壓並不是近似自由空間的唯一條件^[7]。

與古典物理內的真空不同，現今時代的物理真空意指的是真空態（vacuum state），或量子真空。這種真空絶對不是簡單的空無一物的空間^[8]^[9]。因此，自由空間不再是物理真空的同義詞。若想要知道更多細節，請參閱條目自由空間和真空態。

對於為了測量國際單位的數值，而在實驗室製成的任何部分真空，一個很重要的問題是，部分真空是否可以被滿意地視為自由空間的實現？還有，我們必須怎樣修正實驗的結果，才能使這些結果適用於基線？例如，為了彌補氣壓高於零而造成的誤差，科學家可以做一些修正^[10]。

若想知道怎樣才能製成優良的部分真空，請參閱條目超高真空（ultra high vacuum）和自由空間。

請注意，這些缺陷並不會影響真空電容率 $\epsilon _{0}\,\!$ 的意義或數值。 $\epsilon _{0}\,\!$ 是個定義值，是由國際標準組織，通過光速和真空磁導率的定義值而衍生的。

參閱

註釋

^ 取第二個馬克士威方程式（法拉第方程式）的旋度，並將第四個馬克士威方程式 $\nabla \times \mathbf {B} =\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ 代入，則可得到
${\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )&=-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {B} )}{\partial t}}\\&=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\end{aligned}}$ 。
應用一個向量恆等式，再代入第一個馬克士威方程式 $\nabla \cdot \mathbf {E} =0$ ，即得
${\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E} \\&=-\nabla ^{2}\mathbf {E} \\\end{aligned}}$ 。
這樣，就可以得到光波的電場波動方程式
$\nabla ^{2}\mathbf {E} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0$ 。

參考文獻

^ ^1.0 ^1.1 CODATA. Electric constant. 2006 CODATA recommended values. NIST. [2007-08-08]. （原始內容存檔於2007-04-23）.
^ 引述自 NIST（國家標準與技術學院）：現行的慣例是按照ISO 31的建議，用 $c_{0}$ 來標記在真空的光速。原本的1983年建議書主張採用 $c$ 來做此用途。
^ NIST對於公尺的定義 (html). NIST. [2009-06-01]. （原始內容存檔於2011-08-22）.
^ CODATA報告 (pdf). NIST. [2009-06-01]. （原始內容存檔 (PDF)於2018-06-12）.
^ Cardarelli, François. Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures: Their SI Equivalences and Origins 2nd. Springer. 2004. ISBN 9781852336820.
^ John David Jackson. Classical electrodynamics Third. New York: Wiley. 1999: Appendix on units and dimensions; pp. 775 et seq.。. ISBN 047130932X. 怎樣選擇獨立單位的敘述
^ 物理術語部分真空指出，近似真空和自由空間的一個主要分歧源點，是來自於無法達到0氣壓。但是，還有其它非理想性的可能源點。參閱，例如，Di Piazza, Antonino; K. Hatsagortsyan & C. Keitel, Light diffraction by a strong standing electromagnetic wave, Phys.Rev.Lett., 2006, 97: 083603 [2016-02-21], （原始內容存檔於2021-05-20） Gies, Holger; J. Jaeckel & A. Ringwald, Polarized light propagating in a magnetic field as a probe for millicharged fermions, Phys. Rev. Letts., 2006, 97: 140402 [2009-06-01], （原始內容存檔於2021-05-20）
^ Astrid Lambrecht (Hartmut Figger, Dieter Meschede, Claus Zimmermann Eds.). Observing mechanical dissipation in the quantum vacuum: an experimental challenge；在物理書 Laser physics at the limits. Berlin/New York: Springer. 2002: 197. ISBN 3540424180.
^ Walter Dittrich & Gies H. Probing the quantum vacuum: perturbative effective action approach. Berlin: Springer. 2000. ISBN 3540674284.
^ 對於這類修正，CIPM RECOMMENDATION 1 (CI-2002)p. 195 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）的建議是：
♦ …在每一個案例裏，為了要處理真實發生的事件，像繞射、地心重力，或不完美的真空等等，任何必要的修正都必須仔細執行。
除此以外，
♦ …科學家認為公尺是單位固有長度（proper length）。公尺的定義，只適用於一個足夠小的區域內，這樣，可以忽略重力場的不均勻性。
CIPM是國際重量和度量會議（International Committee for Weights and Measures）的首字母縮略字。

[6] 取第二個馬克士威方程式（法拉第方程式）的旋度，並將第四個馬克士威方程式 $\nabla \times \mathbf {B} =\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ 代入，則可得到
${\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )&=-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {B} )}{\partial t}}\\&=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\end{aligned}}$ 。
應用一個向量恆等式，再代入第一個馬克士威方程式 $\nabla \cdot \mathbf {E} =0$ ，即得
${\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E} \\&=-\nabla ^{2}\mathbf {E} \\\end{aligned}}$ 。
這樣，就可以得到光波的電場波動方程式
$\nabla ^{2}\mathbf {E} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0$ 。

[NIST-1] 1.0 ^1.1 CODATA. Electric constant. 2006 CODATA recommended values. NIST. [2007-08-08]. （原始內容存檔於2007-04-23）.

[2] 引述自 NIST（國家標準與技術學院）：現行的慣例是按照ISO 31的建議，用 $c_{0}$ 來標記在真空的光速。原本的1983年建議書主張採用 $c$ 來做此用途。

[3] NIST對於公尺的定義 (html). NIST. [2009-06-01]. （原始內容存檔於2011-08-22）.

[4] CODATA報告 (pdf). NIST. [2009-06-01]. （原始內容存檔 (PDF)於2018-06-12）.

[5] Cardarelli, François. Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures: Their SI Equivalences and Origins 2nd. Springer. 2004. ISBN 9781852336820.

[Jackson-7] John David Jackson. Classical electrodynamics Third. New York: Wiley. 1999: Appendix on units and dimensions; pp. 775 et seq.。. ISBN 047130932X. 怎樣選擇獨立單位的敘述

[8] 物理術語部分真空指出，近似真空和自由空間的一個主要分歧源點，是來自於無法達到0氣壓。但是，還有其它非理想性的可能源點。參閱，例如，Di Piazza, Antonino; K. Hatsagortsyan & C. Keitel, Light diffraction by a strong standing electromagnetic wave, Phys.Rev.Lett., 2006, 97: 083603 [2016-02-21], （原始內容存檔於2021-05-20） Gies, Holger; J. Jaeckel & A. Ringwald, Polarized light propagating in a magnetic field as a probe for millicharged fermions, Phys. Rev. Letts., 2006, 97: 140402 [2009-06-01], （原始內容存檔於2021-05-20）

[Lambrecht-9] Astrid Lambrecht (Hartmut Figger, Dieter Meschede, Claus Zimmermann Eds.). Observing mechanical dissipation in the quantum vacuum: an experimental challenge；在物理書 Laser physics at the limits. Berlin/New York: Springer. 2002: 197. ISBN 3540424180.

[Dittrich-10] Walter Dittrich & Gies H. Probing the quantum vacuum: perturbative effective action approach. Berlin: Springer. 2000. ISBN 3540674284.

[BIPM-11] 對於這類修正，CIPM RECOMMENDATION 1 (CI-2002)p. 195 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）的建議是：
♦ …在每一個案例裏，為了要處理真實發生的事件，像繞射、地心重力，或不完美的真空等等，任何必要的修正都必須仔細執行。
除此以外，
♦ …科學家認為公尺是單位固有長度（proper length）。公尺的定義，只適用於一個足夠小的區域內，這樣，可以忽略重力場的不均勻性。
CIPM是國際重量和度量會議（International Committee for Weights and Measures）的首字母縮略字。

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[註 1]

[6]

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[8]

[9]

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歷史背景

單位理想化

ε0數值的設定

可實現真空和自由空間

參閱

註釋

參考文獻

ε₀數值的設定