等角共軛

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P 的等角共軛
三角形內部點的等角共軛變換

幾何學中,設點 P三角形 ABC 平面上一點,作直線 PAPBPC 分別關於角 ABC平分線反射,這三條反射線必然交於一點[1],稱此點為 P 關於三角形 ABC等角共軛。(這個定義只對點,不是對三角形 ABC 的邊。)

P 的等角共軛點經常記作 P*,顯然 P*的等角共軛點即為 P

內心 I 的等角共軛點是自身。垂心 H 的等角共軛點是外心 O重心的等角共軛點是類似重心 K

三線坐標中,如果 X = x : y : z 是不在三角形 ABC 邊上的一點,那麼它的等角共軛是 1/x : 1/y : 1/z。因此,X 的等角共軛有時也記作 X −1。三角形內部的點集 S 在三線乘法

(p : q : r) * (u : v : w) = pu : qv : rw

下構成一個交換群S 中任何一點 X 的逆是 X −1

因為等角共軛是一個函數,從而我們可以討論一個點集的等角共軛。譬如,直線的等角共軛是一條外接圓錐曲線;確切的,若直線交外接圓於 0、1或 2 點,其等角共軛分別為橢圓拋物線雙曲線。外接圓的等角共軛是無窮遠直線。一些有名的三次曲線(例如:Thompson 三次曲線、Darboux 三次曲線、Neuberg 三次曲線)是自等角共軛的,即如果 X 位於這些三次曲線上,那麼X −1 也在其上。

另見[編輯]

注釋和參考[編輯]

  1. ^ 可以用塞瓦定理的逆定理證明。