數學中,Pin 群是一個二次型空間相伴的克利福德代數的一個子群。它有一個到正交群的 2 對 1 映射,就像 Spin 群映到特殊正交群一樣。
從 Pin 群到正交群的映射不是滿的也不是萬有覆疊空間,但對定二次型,兩者都正確。
確定形式的 Pin 群是到正交群的滿射,每個分支都是單連通的:它是正交群的二重覆疊。正定二次型
和它的負形式
不是同構的,但是正交群是同構的
[註 1]。
就標準形式而言,
,但是
。使用 Clifford 代數(這裡
)中通用的「±」號記法,我們可以寫成
![{\displaystyle {\mbox{Pin}}_{+}(n):={\mbox{Pin}}(n,0)\qquad {\mbox{Pin}}_{-}(n):={\mbox{Pin}}(0,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7f75c7a6d4ce156dc039fb68f73e1cb944c2d1)
它們都是到
的滿射。
與之對比,我們有同構[註 2]
且他們都是特殊正交群 SO(n) 惟一的萬有覆疊。
任何連通拓撲群在拓撲意義上有惟一的萬有覆疊空間,這個空間有惟一的群結構作為基本群的中心擴張。對一個不連通拓撲空間,含單位元的分支有一個惟一的萬有覆疊,然後在其他分支作為拓撲空間可取同一個覆疊(這是單位分支的主齊性空間),但是其它分支的群結構一般不是惟一的。
Pin 和 Spin 群是和正交群和特殊正交群關聯的獨特的拓撲空間,由 Clifford 代數中得出:存在其他類似的群,對于于其他分支的其他二重覆疊或者其他群結構,但是他們不叫做 Pin 或 Spin 群,研究得也少。
兩個 Pin 群對應於中心擴張
![{\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Pin}}_{\pm }(V)\to O(V)\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/309c573d74b3d3a4f2083dd72def507415cbe166)
(行列式為 1 的分支)上的群結構已經定義好了;其餘分支的群結構由中心確定,從而有一個
分歧。
兩個擴張由一個反射的原像的平方是
區分,這兩個 Pin 群即是這樣命名的。明確地說,一個反射在
中的指數為 2,
,所以反射的原像的平方(具有行列式 1)一定在
的核中,所以
,兩種選擇都確定了一個 Pin 群(因為所有反射共軛於聯通群
的中一個元素,所有反射的平方一定具有相同值)。
具體地,在
中,
的指數為 2,子群
的原像是
:如果我們重複同一個反射,得到恆同。
在
中,
的指數為 4:
如果重複同一個反射兩次,我們得到了一個「旋轉 2π」——
中的非平凡元可以理解為「旋轉 2π」(每一個軸得出相同的元素)。
在 2 維,
與
的區別反映了一個正 2n 邊形的二面體群和循環群
的區別。
在
中,一個正 2n 邊形的二面體群的原像,視為子群
,是 2n 邊形的二面體群
;然而在
中二面體群的原像是循環群
在 1維,Pin 群共軛於第一個二面體群和循環群:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Pin}}_{+}(1)&\cong C_{2}\times C_{2}={\mbox{Dih}}_{1}\\{\mbox{Pin}}_{-}(1)&\cong C_{4}={\mbox{Dic}}_{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e919fa17442f8a6b0f73abbb52f42dc58c99377)
Spin(p,q) 有八種不同的二重覆疊,對
,這對應於用
中心擴張(中心不是
就是
)。只有其中兩個稱為 Pin 群,他們可以將 Clifford 代數作為一個表示。他們分別稱為 Pin(p,q) 和 Pin(q,p)。
這個群的名稱在 麥可·阿蒂亞、拉烏爾·博特、A. Shapiro:
Clifford modules(Topology 3, suppl. 1 (1964), pp. 3-38, on page 3, line 17)一文中引入,他們說「這個笑話歸於 J-P. Serre」。這是「Spin」的逆構詞法:Pin 之於 Spin 就像 O(n) 之於 SO(n),從而從「Spin」中去掉「S」得到「Pin」。進一步,詞「Pin」的法語發音和一個粗痞話相同,這暗示了這個名稱的起源於(或被歸於)塞爾。[註 3]