微元法

微元法（英語：Differential element method），也叫元素法、微元素法、無窮小元素的求和法，是數學和物理中常用的一種求解數學和物理問題的方法。

概述[編輯]

在求解力學量和物理量的實際應用中，很多新量的建立需要類似定積分中在求解面積和路程問題時分割、近似、求和、取極限的過程，為了使這一過程簡化，微元法也就應運而生，微元法本身就是定積分的原始思想，它可以看做分割、近似、求和、取極限的簡略過程，所以微元法也是一種思想方法。

歷史上，在微積分的理論基礎還不清楚，微分還沒有嚴格定義時，微分被理解為一個比零大，但又比任何正數小的神秘的「數」，是無法理解的，這與現代明確的微分定義是不同的，它所對應的被度量的物理量就是微元。微元就是用這種無限小「微分」度量的具體的量，把微元理解為一個「無限小的過程」即「元過程」，這個「過程」可以是角度、線段、面、體，還可以是時間、位移、功等等，積分便是這些「無限小過程」之和，在求解力學量和物理量時，用這種想法可以快速地建立新量的積分表達式，因為這種想法方便實用，簡便快捷，所以應用相當廣泛。

當微積分的理論基礎嚴格建立起來之後，舊的微分概念被拋棄了，取而代之的是現在的微分概念，微元法也有了嚴格的敘述方式，但在實際應用中，嚴格敘述較為繁瑣，所以往往還是採用過去的理解，把微元看做「無限小的過程」。

內容[編輯]

假設在某一實際問題中，對於給定的連續函數 $y=f(x)$ ，量 $Q$ 有以下三個特點：

1.一方面， $Q$ 是由區間 $[a,b]$ 所決定的常量，不妨記之為 $Q([a,b])$ 。另一方面，當考慮右端點變動的區間 $[a,x](a<x\leq b)$ 時， $Q([a,x])$ 又依賴於 $x$ 而成為變量，也就是說，它又是 $x$ 的函數而簡記為 $Q(x)$ 。
2.對於 $[a,b]$ 的每個子區間， $Q$ 都有確定的值，並且關於區間有可加性，即若 $[\alpha ,\beta ]\subset [a,b],[\beta ,\gamma ]\subset [a,b]$ ，則

Q([\alpha ,\gamma ])=Q([\alpha ,\beta ])+Q([\beta ,\gamma ]).

3.部分量 $\Delta Q_{i}$ 的近似值可表示為 $f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 。

為了計算出量 $Q$ 並把它表達為積分的形式，我們採取兩個步驟：

第一步（分割、近似），將區間 $[a,b]$ 進行分割，而得到

a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b

,

並求出 $Q([x_{i},x_{i+1}])$ (即 $\Delta Q_{i}$ )的近似值 $f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 。

第二步（求和、取極限），將 $f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 關於 $i$ 從 $0$ 到 $n-1$ 求和得到

Q([a,b])=\sum _{i=0}^{n-1}Q([x_{i},x_{i+1}])\approx \sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}

令 $max\left\{\Delta x_{i}\right\}\rightarrow 0$ 取極限，由於連續函數 $f(x)$ 的可積性，最後得

Q([a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\,dx

接下來我們把這個過程進行簡化。

由上式可以知道

Q(x)=Q([a,x])=\int _{a}^{x}f(x)\,dx(a<x\leq b)

如果略去足碼 $i$ ，而將任意的小區間記為 $[x,x+dx]$ ，並取 $Q([x,x+dx])$ 的近似值為 $f(x)dx$ ，由微分形式的微積分基本定理^[1]可知，它恰恰是 $Q(x)$ 的微分，即 $dQ=dQ(x)=f(x)dx$ 於是在實際應用上，上述兩個步驟可以簡述為

第一步，在區間 $[x,x+dx]$ 上計算 $Q$ 的微分 $dQ=f(x)dx$

第二步，在 $[a,b]$ 上求和（求積）得

Q=\int _{a}^{b}f(x)\,dx

不論是幾何的物理的還是其他科學技術的量，只要它具有上述的三個特點，我們就可以用這個一般的程式求出它。這種方法通常稱為無窮小元素的求和法或微元法。而 $dx$ 及 $dQ$ 則稱為無窮小元素或微元。由於在力學和物理學的大部分問題中，通過問題的實際意義可以知道，所求量的函數是連續函數，因此微元法總是可以應用的。