轉移矩陣

对于元素为随机的矩阵，参见随机矩阵

在数学中，随机矩阵（也称为概率矩阵、转移矩阵、 替代矩阵、或马尔可夫矩阵）是用来描述一个马尔可夫链的转变的矩阵 。它的每一项都是一个表示概率的非负实数。它适用于概率论、统计学和线性代数，也在计算机科学和群体遗传学中使用。 有几种不同的定义和类型随机矩阵：

右随机矩阵是实方阵，其中每一行求和为1。

左随机矩阵是实方阵，其中每一列求和为1。

双随机矩阵是非负实数方阵，每个行和列求和均为1。

同理，可以定义随机向量（也称为概率向量）为元素为非负实数且和为1的向量。因此，右随机矩阵的每一行（或左随机矩阵的每一列）都是一个随机向量。

在英语数学文献中的惯例是用概率的行向量和概率的右随机矩阵，而不用列向量和左随机矩阵，本文遵循此惯例。

定义

設一个 n 階方陣$\mathbf {A}$,

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}.$

且滿足:

• A中每一個元皆為非負實數
• A中每一行的和皆等於1

則稱$\mathbf {A}$為一個轉移矩陣(stochastic matrix)。轉移矩陣又稱馬爾可夫矩陣。

應用

轉移矩陣可用以表示機率(或變化比率)，而矩陣相乘的結果可用以預測未來事件發生的機率。

性質

設$\mathbf {A}$、$\mathbf {B}$為二個n×n階轉移矩陣，則以下亦為轉移矩陣:

• $\mathbf {AB}$
• $\mathbf {A} ^{2}$
• ${\frac {1}{2}}(\mathbf {A} +\mathbf {B} )$