函数方程

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函数方程是含有未知函数方程。函数方程可以有一个解,可以无解,也可以有多个解,甚至可以有无穷多个解。

例子[编辑]

  • 函数方程

\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)
的解是黎曼ζ函數
  • 函数方程
\Gamma(x)={\Gamma(x+1) \over x}\,\!
的解是伽玛函数
  • 函数方程
\Gamma(z)\Gamma(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!

的解是伽玛函数

  • 更多例子:
f(x + y) = f(x)f(y), \,\!的解是所有指数函数
f(xy) = f(x) + f(y)\,\!的解是所有对数函数
f(x + y) = f(x) + f(y)\,\! (柯西函数方程)
F(az) = aF(z)(1-(z))\,\! (庞加莱方程)
f((x + y)/2) = (f(x) + f(y))/2\,\! (琴生)
g(x + y) + g(x - y) = 2g(x)g(y)\,\! (达朗贝尔)
f(h(x)) = f(x) + 1\,\! (阿贝尔方程)。

解函数方程[编辑]

函数方程与代数方程、微分方程不同,并没有普遍的解法。所以这个分支也没能发展起来。如上述的解为Gamma函数和初等函数的方程的解法完全不同。

对于二元函数方程,对其变量赋予特殊值的做法较多。

例子:解函数方程f(x+y)^2 = f(x)^2 + f(y)^2

x=y=0f(0)^2=f(0)^2+f(0)^2。所以f(0)^2=0f(0)=0

现在,设y=-x

f(x-x)^2=f(x)^2+f(-x)^2
f(0)^2=f(x)^2+f(-x)^2
0=f(x)^2+f(-x)^2

由于实数的平方非负,以及两个非负数的和为零当且仅当两个数都为零,因此对于所有xf(x)^2=0,所以f(x)=0是唯一的解。