子流形

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自交的浸入子流形

数学上,流形M子流形子集S,且本身也有流形的结构,并且内含映射SM满足特定属性。根据具体所需的属性,有各种不同类型的子流形。不同作者经常采用不同的定义。

形式化定义[编辑]

下面假设所有流形为Cr微分流形r ≥ 1,并且所有映射为Cr类可微。

浸入子流形[编辑]

浸入子流形,开区间的区间终点映射为箭头。

流形M浸入子流形是流形N,带有给定浸入f : NMf : Nf(N)是一个光滑映射,且其雅可比矩阵处处满秩)。因此,NM中的像和N存在局域同胚。如果进一步要求N的度量和从M拉回的度量相同,则称等度浸入子流形。

嵌入子流形[编辑]

嵌入子流形(也称正则子流形)是浸入子流形,其浸入映射为同胚。子流形拓扑和它的像(流形M的子集S)的子集拓扑相同。

嵌入子流形也可以内蕴定义:令Mn-维流形,令k为整数,满足0 ≤ knk-维嵌入子流形是子空间SM使得,对每个点pS,存在(UM, φ : URn)包含p满足φ(SU)是一个k-维平面和φ(U)的交。二元组(SU, φ|SU)构成S上微分结构的图册

子流形在李群理论中出现频繁,因为很多李群可以视为非退缩矩阵乘法群的子流形兼子群。

其他变种[编辑]

文献中有其他子流形的变种定义。

属性[编辑]

给定M的浸入子流形S,其p点的切空间可以视为pM中的线性子空间。这是因为浸入给出了一个单射

i_{\ast}: T_p S \to T_p M.

假设SM的嵌入子流形。若内含映射i : SM闭映射S也称闭嵌入子流形。这是具有良好属性的一类子流形。

欧几里得空间子流形[编辑]

流形经常被定义欧几里得空间Rn的子流形,所以这是一个非常重要的特例。根据惠特尼嵌入定理所有第二可数的光滑n-流形可以光滑地嵌入到R2n中。而且根据纳什嵌入定理,所有紧致闭流形可以等距嵌入欧几里得空间。

参考[编辑]

  • Lee, John. Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics 218. New York: Springer. 2003. ISBN 0-387-95495-3. 
  • Sharpe, R. W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. New York: Springer. 1997. ISBN 0-387-94732-9.