接近整数

Ed Pegg jr.先生發現上圖中的線段d長度為$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{30}(61421-23\sqrt{5831385})}$，非常接近7（數值為7.0000000857）

在趣味數學中，接近整数是指很接近整數的數字。這類數字中，有些因為其數學上的特性使其接近整数，有些還找不到其特性，看起來似乎只是巧合。

有關黃金比例及其他皮索特-维贡伊拉卡文数

黃金比例$\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1.618\,$的一些高次方符合此特性。例如

• $\phi^{17}=\frac{3571+1597\sqrt5}{2}\approx 3571.00028\,$
• $\phi^{18}=2889+1292\sqrt5 \approx 5777.999827\,$
• $\phi^{19}=\frac{9349+4181\sqrt5}{2}\approx 9349.000107\,$

這些數字接近整數不是偶然的巧合，因為黃金比例為一個皮索特-维贡伊拉卡文数，而皮索特-维贡伊拉卡文数的高次方會是接近整數。

皮索特-维贡伊拉卡文数是指一代數數大於1，而且其極小多項式中另一根的絕對值小於1。黃金比例本身大於1，$\phi$的最小多項式為 $x^2 - x - 1=0$

另一根為 $\overline{\phi}=\frac{1-\sqrt5}{2}\approx -0.618\,$

絕對值小於1，因此黃金比例的高次方會是接近整数。

依照根和系数的关系，可得知

$\phi \overline{\phi} = -1$

$\phi+\overline{\phi} = 1$

而$\phi^n + \overline{\phi}^n$可以用$\phi \overline{\phi}$ 及$\phi+\overline{\phi}$來表示，由於二根之和及二根之積均為整數，計算所得的結果也是一個正整數，假設為一正整數K，則$\phi^n$可以用下式表示

$\phi^n = K - \overline{\phi}^n$

由於$\overline{\phi}$的絕對值小於1，在n增大時，其高次方會趨於0，此時可得

$\phi^n \approx K$

除了黃金比例外，其他皮索特-维贡伊拉卡文数的無理數也符合此一條件，例如$1+\sqrt2$。

有關黑格納數

以下也是幾個非巧合出現的接近整數，和最大三項的黑格納數有關：

• $e^{\pi\sqrt{43}}\approx 884736743.999777466\,$
• $e^{\pi\sqrt{67}}\approx 147197952743.999998662454\,$
• $e^{\pi\sqrt{163}}\approx 262537412640768743.99999999999925007\,$

以上三式可以用以下的式子表示:

$e^{\pi\sqrt{43}}=12^3(9^2-1)^3+744-2.225\cdots\times 10^{-4}\,$

$e^{\pi\sqrt{67}}=12^3(21^2-1)^3+744-1.337\cdots\times 10^{-6}\,$

$e^{\pi\sqrt{163}}=12^3(231^2-1)^3+744-7.499\cdots\times 10^{-13}\,$

其中：$21=3\times7,231=3\times7\times11,744=24\times 31\,$ 由於艾森斯坦級數的關係，使得上式中出現平方項。常數$e^{\pi\sqrt{163}}\,$有時會稱為拉馬努金常數。

有關π及e

許多有關π及e的常數也是接近整數，例如

$e^{\pi}-\pi=19.999099979189\cdots\,$

格尔丰德常数（$e^{\pi}\,$）接近$\pi+20\,$，至2011年為止還沒找到出現此特性的原因，因此只能視為一數學巧合。另一個有關格尔丰德常数的常數也是接近整數 $\frac{e^\pi-\pi-1}{6\pi}=1.00793356\cdots\,$

以下也是一些接近整數的例子

• $22{\pi}^4=2143.0000027480\cdots\,$
• ${\pi}^3=31.006276\cdots\,$
• ${\pi}^3-\frac{\pi}{500}=30.999993494\cdots\,$
• ${\pi}^2+\frac{\pi}{24}=10.000504\cdots\,$

其他例子

${}_{\cos\left\{\pi\cos\left[\pi\cos\ln\left(\pi+20\right)\right]\right\}\approx -0.9999999999999999999999999999999999606783 }$	${}_{\sin2017\sqrt[5]2\approx -0.9999999999999999785}$	${}_{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lfloor n\tanh \pi \rfloor}{10^n}-\frac{1}{81}\approx 1.11\times10^{-269}}$	${}_{\sqrt{29}\left(\cos\frac{2\pi}{59}-\cos\frac{24\pi}{59}\right)-\frac{19}{5}\approx 3.057684294154\times10^{-6}}$
${}_{1+\frac{103378831900730205293632}{e^{3\pi\sqrt{163}}}-\frac{196884}{e^{2\pi\sqrt{163}}}-\frac{262537412640768744}{e^{\pi\sqrt{163}}}\approx 1.161367900476\times10^{-59}}$	${}_{\frac{\ln^2262537412640768744}{\pi^2}-163\approx 2.32167\times10^{-29}}$	${}_{10\tanh\frac{28}{15}\pi-\frac{\pi^9}{e^8}\approx 3.661398\times10^{-8}}$	${}_{ \sqrt[4]{\frac{91}{10}}-\frac{33}{19}\approx 3.661398\times10^{-8}}$
${}_{ \gamma10\over81}\left(11-2\sqrt{10}\right)=\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{e^x-1\frac{1}{xe^x}\right){\rm{d}}x-{10\over81}\left(11-2\sqrt{10}\right)\approx 2.72\times10^{-7}}$	${}_{\frac{\left(5+\sqrt5\right)\Gamma\left({3\over4}\right)}{e^{\frac{5}{6}\pi}}\approx1.000000000000045422}$	${}_{{1\over4}\left(\cos{1\over10}+\cosh{1\over10}+2\cos{\sqrt2\over20}\cosh{\sqrt2\over20}\right)\approx 1.000000000000248 }$	${}_{e^6-\pi^5-\pi^4\approx1.7673\times10^{-5}}$
${}_{\sqrt{29}\left(\cos\frac{2\pi}{59}-\cos\frac{24\pi}{59}\right)\approx 3.0576842941540143382\times 10^{-6}}$	${}_{ \left(3\sqrt5\right)^{\gamma}=\left(3\sqrt5\right)^{\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{xe^x}\right){\rm{d}}x}\approx 3.000060964}$	${}_{ e^{\phi_0\left(\frac{2+\sqrt3}{4}\right)}=e^{\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{te^t}-\frac{e^{\frac{2-\sqrt3}{4}t}}{e^t-1}\right){\rm{d}}t}\approx 1.99999969}$	${}_{ \frac{\sqrt[3]9}{3\ln 2}\approx 1.00030887}$
${}_{\sum_{k=-\infty}^{\infty}10^{-\frac{k^2}{10000}}-100\sqrt{\frac{\pi}{\ln10}}=\theta_3\left(0,\frac{1}{\sqrt[10000]{10}}\right)-100\sqrt{\frac{\pi}{\ln10}}\approx1.3809\times10^{-18613}}$	${}_{ {\pi^9\over e^8}\approx 9.998387}$	${}_{ e^{\pi}-\pi\approx 19.999099979}$	${}_{ \frac{e^{\pi}-\ln3}{\ln2}-\frac{4}{5}\approx 31.0000000033}$
${}_{\frac{\pi^{11}}{e^3}-\Gamma\left[\Gamma\left(\pi+1\right)+1\right]=\frac{\pi^{11}}{e^3}-\int_0^{\infty}\frac{t^{\int_0^{\infty}\frac{u^{\pi}}{e^u}{\rm{d}}u}}{e^t} {\rm{d}}t\approx 7266.9999993632596}$	${}_{ 163\left(\pi-e\right)\approx 68.999664}$	${}_{ \left(\frac{23}{9}\right)^5=\frac{6436343}{59049}\approx 109.00003387}$	${}_{ 88\ln 89\approx 395.00000053}$
${}_{ 510\lg 7\approx 431.00000040727098}$	${}_{ 272\log_{\pi}97\approx 1087.000000204}$	${}_{ \frac{53453}{\ln 53453}\approx 4910.00000122}$	${}_{ \frac{53453}{\ln 53453}+\frac{163}{\ln 163}\approx 4941.99999995925082 }$
${}_{\sqrt[8]{\frac{\sqrt2}{4}\left(\pi^{17}-4e^{2\pi}+4\pi e^{\pi}\right)}-\sqrt[8]{\frac{\sqrt2}{4}\left(\pi^{17}-4e^{2\pi}-4\pi e^{\pi}\right)}\approx 2.570287024592328869357\times 10^{-6}}$	${}_{10-\sqrt[8]{\frac{\sqrt2}{4}\left(\pi^{17}-4e^{2\pi}-4\pi e^{\pi}\right)}\approx 2.57055302118\times 10^{-6}}$	${}_{10-\sqrt[8]{\frac{\sqrt2}{4}\left(\pi^{17}-4e^{2\pi}+4\pi e^{\pi}\right)}\approx 2.65996596963\times 10^{-10}}$	${}_{ \frac{163}{\ln 163}\approx 31.9999987343}$

${}_{ \ln K_0-\ln\ln K_0\approx 1.0000744}$ ，其中$K_0$是辛钦常数

${}_{\frac{10}{81}-\sum_{n=1}^\infty\frac{\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}10^{-n\left[k-(10^{n-1}-1)\right]}k}{10^{\sum_{k=0}^{n-1}9\times 10^{k-1}k}}=\frac{10}{81}-\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}\frac{k}{10^{kn-9\sum_{k=0}^{n-1}10^k(n-k)}}\approx 1.022344\times10^{-9}}$

${}_{-\frac{1}{5} +e^{\frac{6}{5}} {}_4F_3\left(-\frac{1}{5},\frac{1}{20},\frac{3}{10},\frac{11}{20};\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5};\frac{256}{3125e^6}\right)+\frac{2}{25e^{\frac{6}{5}}}{}_4F_3\left(\frac{1}{5},\frac{9}{20},\frac{7}{10},\frac{19}{20};\frac{3}{5},\frac{4}{5},\frac{7}{5};\frac{256}{3125e^6}\right)-\frac{4}{125e^{\frac{12}{5}}}{}_4F_3\left(\frac{2}{5},\frac{13}{20},\frac{9}{10},\frac{23}{20};\frac{4}{5},\frac{6}{5},\frac{8}{5};\frac{256}{3125e^6}\right)+\frac{7}{625e^{\frac{18}{5}}}{}_4F_3\left(\frac{3}{5},\frac{17}{20},\frac{11}{10},\frac{27}{20};\frac{6}{5},\frac{7}{5},\frac{9}{5};\frac{256}{3125e^6}\right)-\pi\approx 2.89221114964408683\times10^{-8}}$

${}_{\qquad\mbox{Root of } x^6-615x^5+151290x^4-18608670x^3+1144433205x^2-28153057165x+39605=0} \,$

${}_{\frac{615-55\sqrt5-\sqrt[3]{7451370+3332354\sqrt5+6\sqrt{8890710030+3976046490\sqrt5}}-\sqrt[3]{7451370+3332354\sqrt5-6\sqrt{8890710030+3976046490\sqrt5}}}{6}\approx 1.40677447684\times10^{-6}}$

${}_{\qquad\mbox{Root of } 312500000x^5-6843750000x^4+6826250000x^3+10476025000x^2-7886869750x-72099=0} \,$

${}_{\tan\left(\frac{\arctan 4}{5}+\frac{4\pi}{5}\right)+\frac{19}{50}=\frac{219}{50}+\frac{-1-\sqrt5+\sqrt{10-2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}\sqrt[5]{884+799{\rm{i}}}+\frac{-1-\sqrt5-\sqrt{10-2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}\sqrt[5]{884-799{\rm{i}}}+\frac{-1+\sqrt5-\sqrt{10+2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}\sqrt[5]{1156+289{\rm{i}}}+\frac{-1+\sqrt5+\sqrt{10+2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}\sqrt[5]{1156-289{\rm{i}}}\approx -9.141538637378949398666277\times 10^{-6}}$

${}_{\rm{erfi}\left(\rm{erfi}\frac{\sqrt3}{3}\right)=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^{\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^{\frac{\sqrt3}{3}} e^{t^2} \rm{d} t} e^{u^2} \rm{d} u =\frac{2}{\sqrt\pi}e^{\left(\frac{2\sqrt[3]e}{\sqrt\pi}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{2}{3}\sqrt3t\right)}{e^{t^2}}{\rm{d}}t\right)^2}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left[\frac{4u\sqrt[3]e}{\sqrt\pi}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{2}{3}\sqrt3t\right)}{e^{t^2}}{\rm{d}}t\right]}{e^{u^2}}{\rm{d}}u =\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^{{}_{\frac{2\sqrt[3]e}{\sqrt\pi}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{2}{3}\sqrt3t\right)}{e^{t^2}}{\rm{d}}t}} e^{u^2} {\rm{d}} u =\frac{2}{\sqrt\pi}e^{\left(\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^{\frac{\sqrt3}{3}} e^{t^2} \rm{d} t\right)^2}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{4u}{\sqrt\pi}\int_0^{\frac{\sqrt3}{3}} e^{t^2} \rm{d} t\right)}{e^{u^2}} {\rm{d}} u\approx 1.00002087363809430195879}$

外部連結

• J.S. Markovitch Coincidence, data compression, and Mach's concept of economy of thought