等于

数学上，两个数学对象是相等的，若他们在各个方面都相同。这就定义了一个二元谓词等于，写作“=”；x = y 当且仅当x 和y 相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式。

注意，有些时候“A = B”并不表示等式。例如，T（n）= O(n²)表示在数量级 n²上渐进。因為这裡的符号“=”不滿足若且唯若的定義，所以它不等於等于符号；实际上，O(n²) = T（n）是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。

集合A 上的等于关系是种二元关系，满足自反性，对称性，反对称性和传递性。实际上，这是A 上唯一满足所有这些性质的关系。去掉对反对称性的要求，就是等价关系。相应的，给定任意等价关系R，可以构造商集A/R，并且这个等价关系将‘下降为’A/R 上的等于。

在任何条件下都成立的等式称为恒等式，包含未知数的等式称为方程式。

逻辑形式 [编辑]

谓词逻辑含有标准的关于相等的公理来形式化莱布尼茨律。莱布尼茨律是由哲学家莱布尼茨在17世纪提出来的。莱布尼茨的想法是，两样物体是同一的，当且仅当它们有完全相同的性质。形式化这一说法，可以写成

对任意x 和y，x = y 当且仅当对任意谓词P，P（x）当且仅当P（y）。

然而，在一阶逻辑中，不能对谓词进行量化。因此，需要使用下述公理：

对任意x 和y，若x 等于y，则P（x）当且仅当P（y）。

这条公理对任意单变量的谓词P 都有效，但只定义了莱布尼茨律的一个方向：若x 和y 相等，则它们具有相同的性质。可以通过简单的假设来定义莱布尼茨律的另一个方向：

对任意x，x 等于x。

则若x 和y 具有相同的性质，则特定的它们关于谓词P 是相同的。这里谓词P 为：P（z）当且仅当x = z。由于P（x）成立，P（y）必定也成立（相同的性质），所以x = y（P 的变量为y）.

替代性：: 对任意量a 和b 和任意表达式F（x），若a = b，则F（a）= F（b）（设等式两边都有意义）。; 在一阶逻辑中，不能量化像F 这样的表达式（它可能是个函数谓词）。; 一些例子：

这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。

实数或其他对象上的二元关系“约等于”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的差能够叠加成非常大）。然而，在绝大多数情况下，等于具有传递性。

尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。

「等于」符号或「＝」被用来表示一些算术运算的结果，是由Robert Recorde在1557年发明的。

由于觉得书写文字过于麻烦，Recorde在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也向等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。

约等于的符号是≈或≒，不等于的符号是≠。