若尔当矩阵

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数学中,特别是矩阵论裡,若尔当矩阵矩阵的一种,又称若尔当块(作为另一个矩阵的一部分时)。当系数取在某个\displaystyle R 上时(其中的零元乘法单位元分别记为01),若尔当矩阵可以写成如下形式:

\begin{pmatrix}
\lambda & 1       & 0       & \cdots  & 0 \\
0       & \lambda & 1       & \cdots  & 0 \\
\vdots  & \vdots  & \ddots& \vdots  & \vdots \\
0       & 0       & 0        & \lambda & 1       \\
0       & 0       & 0       & 0       & \lambda \\\end{pmatrix}

对角线上全都是同一个元素\displaystyle \lambda \in R,而对角线上一排(即所有第\scriptstyle k行第\scriptstyle k+1列)都是1,其余位置上都是0。

可以看到只要确定了对角线上的系数\scriptstyle \lambda 和矩阵的大小\scriptstyle n,就确定了一个若尔当矩阵。这样一个若尔当矩阵被记为\displaystyle J_{\lambda, n}

如果一个分块对角矩阵的每一个分块都是若尔当块,那么这个矩阵叫做若尔当形矩阵,或若尔当标准型。例如以下矩阵:

J = \begin{pmatrix}
J_{\lambda_{1}, m_1} & 0       & 0       & \cdots  & 0 \\
0       & J_{\lambda_{2}, m_2} & 0       & \cdots  & 0 \\
\vdots  & \vdots  & \ddots& \vdots  & \vdots \\
0       & 0       & 0        & J_{\lambda_{s-1}, m_{s-1}} & 0       \\
0       & 0       & 0       & 0       & J_{\lambda_{s}, m_s} \\\end{pmatrix}

以上的若尔当形矩阵也可以记成J=J_{\lambda_1,m_1}\oplus J_{\lambda_2,m_2} \oplus\ldots\oplus J_{\lambda_N,m_N}

给定的一个若尔当矩阵\displaystyle J_{\lambda, n} 可以分解为:

J_{\lambda, n} = \lambda I_n + N

其中 I_nn 维的单位矩阵,而N 则是一个幂零矩阵

N = \begin{pmatrix}
0 & 1       & 0       & \cdots  & 0 \\
0       & 0 & 1       & \cdots  & 0 \\
\vdots  & \vdots  & \ddots& \vdots  & \vdots \\
0       & 0       & 0        & 0 & 1       \\
0       & 0       & 0       & 0       & 0 \\\end{pmatrix}

矩阵N 满足\displaystyle N^n = 0

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  • 金朝嵩、段正敏、王汉明. 线性代数. 清华大学出版社. 2006年.