魏爾斯特拉斯橢圓函數

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數學中,魏爾斯特拉斯橢圓函數又稱\wp函數,是格外簡單的一類橢圓函數,也是雅可比橢圓函數的特殊形式。卡爾·魏爾斯特拉斯首先研究了這些函數。

Symbol for Weierstrass P function

魏爾斯特拉斯p函數的符號

定義[编辑]

固定 \mathbb{C} 中的格 \Lambda = \mathbb{Z}\omega_1 \oplus \mathbb{Z}\omega_2\omega_1, \omega_2 \in \mathbb{C}\mathbb{Q} 上線性無關),對應的魏爾斯特拉斯橢圓函數定義是


\wp(z; \Lambda)=\frac{1}{z^2}+
\sum_{(m,n) \ne (0,0)} 
\left\{
\frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}-
\frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2}
\right\}

顯然右式只與格 \Lambda\, 相關,無關於基 \omega_1, \omega_2\, 之選取。\Lambda\, 的元素也稱作週期。

另一方面,格 \Lambda\, 在取適當的全純同態 \mathbb{C} \to \mathbb{C} 後可表成 \Lambda = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\tau,其中 \tau\, 屬於上半平面。對於這種形式的格,

\wp(z; \Lambda) = \wp(z;\tau) =\frac{1}{z^2} + \sum_{n^2+m^2 \ne 0}{1 \over (z-n-m\tau)^2} - {1 \over (n+m\tau)^2}

反之,由此亦可導出對一般的格之公式

\wp(z; \mathbb{Z}\omega_1 \oplus \mathbb{Z}\omega_2) = \frac{\wp(\frac{z}{\omega_1}; \frac{\omega_2}{\omega_1})}{\omega_1^2} \quad (\mathrm{Im}(\frac{\omega_1}{\omega_2}) > 0)

在數值計算方面,\wp 可以由Theta 函數快速地計算,方程是

\wp(z; \tau) = \pi^2 \vartheta^2(0;\tau) \vartheta_{10}^2(0;\tau){\vartheta_{01}^2(z;\tau) \over \vartheta_{11}^2(z;\tau)}-{\pi^2 \over {3}}\left[\vartheta^4(0;\tau) + \vartheta_{10}^4(0;\tau)\right]
  • 在週期格中的每個點,\wp 有二階極點
  • \wp 是偶函數。
  • 複導函數 \wp' 是奇函數。

加法定理[编辑]


\det\begin{pmatrix}
\wp(z) & \wp'(z) & 1\\
\wp(y) & \wp'(y) & 1\\
\wp(z+y) & -\wp'(z+y) & 1
\end{pmatrix}=0

假設 u+v+w=0,上式有一個較對稱的版本


\det\begin{pmatrix}
\wp(u) & \wp'(u) & 1\\
\wp(v) & \wp'(v) & 1\\
\wp(w) & \wp'(w) & 1
\end{pmatrix}=0

此外


\wp(z+y)=\frac{1}{4}
\left\{
\frac{\wp'(z)-\wp'(y)}{\wp(z)-\wp(y)}
\right\}^2
-\wp(z)-\wp(y).

魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足複製公式:若 2z 不是週期,則


\wp(2z)=
\frac{1}{4}\left\{
\frac{\wp''(z)}{\wp'(z)}\right\}^2-2\wp(z),

微分方程與積分方程[编辑]

定義 g_2, g_3(依賴於 \Lambda)為

g_2 := 60 \sum_{w \in \Lambda}'  w^{-4}
g_3 := 120 \sum_{w \in \Lambda}' w^{-6}

求和符號 \sum'_w 意謂取遍所有非零的 w。當 \Lambda = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\tau 時,它們可由艾森斯坦級數 G_4, G_6 表示。

則魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足微分方程

 \wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3

z \mapsto (\wp(z),\wp'(z)) 給出了從複環面 \mathbb{C}/\Lambda 映至三次複射影曲線 y^2 = 4x^3 - g_2 x -g_3 的全純映射;可證明這是同構。

另一方面,將上式同除以 \wp',積分後可得

z_1 - z_2 = \int_{\wp(z_1)}^{\wp(z_2)} \frac {ds} {\sqrt{4s^3 - g_2s -g_3}}

右側是複平面上的路徑積分,對不同的路徑 \wp(z_1) \to \wp(z_2),其積分值僅差一個 \Lambda 的元素;所以左式應在複環面 \mathbb{C}/\Lambda 中考慮。在此意義下,魏爾斯特拉斯橢圓函數是某類橢圓積分之逆。

模判別式[编辑]

續用上節符號,模判別式 \Delta 定義為下述函數

\Delta=g_2^3-27g_3^2.

視為週期格的函數,這是權 12 之模形式。模判別式也可以用戴德金η函數表示。

文獻[编辑]

  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
  • K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
  • Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis (1952), Cambridge University Press, chapters 20 and 21

外部連結[编辑]