在線性代數 中，希爾伯特矩陣 是一種係數 都是單位分數 的方塊矩陣 。具體來說一個希爾伯特矩陣H 的第i 橫行第j 縱列的係數是：
H
i
j
=
1
i
+
j
−
1
.
{\displaystyle H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}.}
舉例來說，
5
×
5
{\displaystyle 5\times 5}
H
5
=
[
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
]
.
{\displaystyle H_{5}={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.}
積分 ：
H
i
j
=
∫
0
1
x
i
+
j
−
2
d
x
,
{\displaystyle H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,}
也就是當向量 是關於變量x 的各階冪 時關於積分範數
L
1
{\displaystyle \mathbb {L} ^{1}}
格拉姆矩陣 。
希爾伯特矩陣是低條件矩陣 的典型例子。與希爾伯特矩陣的數值計算是十分困難的。舉例來說，當範數為
l
2
{\displaystyle l^{2}}
矩陣範數 時希爾伯特矩陣的條件數 大約是
4.8
×
10
5
{\displaystyle 4.8\times 10^{5}}
希爾伯特矩陣是對稱 而正定 的矩陣。希爾伯特矩陣也是全正定矩陣，也就是說它的每個子矩陣 的行列式都是正數。
希爾伯特矩陣是漢克爾矩陣 的一種。
希爾伯特矩陣的行列式可以被表達為閉形式 ，算是柯西行列式 的一種。一個
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
行列式 可以表達為：
det
(
H
)
=
c
n
4
c
2
n
{\displaystyle \det(H)={{c_{n}^{\;4}} \over {c_{2n}}}}
其中
c
n
=
∏
i
=
1
n
−
1
i
n
−
i
=
∏
i
=
1
n
−
1
i
!
{\displaystyle c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!}
希爾伯特在其著作中已經注意到希爾伯特矩陣的行列式也是一個單位分數 ，並且有明確的表達式：
1
det
(
H
)
=
c
2
n
c
n
4
=
n
!
⋅
∏
i
=
1
2
n
−
1
(
i
[
i
/
2
]
)
{\displaystyle {1 \over \det(H)}={{c_{2n}} \over {c_{n}^{\;4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{i \choose [i/2]}}
用關於階乘 的斯特靈公式 ，我們可以得到以下近似的結果：
det
(
H
)
=
a
n
n
−
1
/
4
(
2
π
)
n
4
−
n
2
{\displaystyle \det(H)=a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}}}
其中當
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
a n
e
1
/
4
2
1
/
12
A
−
3
≈
0.6450
{\displaystyle e^{1/4}2^{1/12}A^{-3}\approx 0.6450}
A 是Glaisher-Kinkelin常數 ）。
用二項式係數，希爾伯特矩陣的逆矩陣 也可以表示為閉形式。一個
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
(
H
−
1
)
i
j
=
(
−
1
)
i
+
j
(
i
+
j
−
1
)
(
n
+
i
−
1
n
−
j
)
(
n
+
j
−
1
n
−
i
)
(
i
+
j
−
2
i
−
1
)
2
{\displaystyle (H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^{2}}
也就是說，希爾伯特矩陣的逆矩陣的係數都是整數。
當
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
O
(
(
1
+
2
)
4
n
/
n
)
{\displaystyle O((1+{\sqrt {2}})^{4n}/{\sqrt {n}})}
參考來源 [ 編輯 ] David Hilbert, Collected papers , vol. II, article 21.
Beckermann, Bernhard. "The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices" in Numerische Mathematik. 85 (4), 553--577, 2000.
Choi, M.-D. "Tricks or Treats with the Hilbert Matrix （頁面存檔備份 ，存於互聯網檔案館 ）" in American Mathematical Monthly . 90 , 301–312, 1983.
Todd, John. "The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix" in National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series. 39 , 109–116, 1954.
Wilf, H.S. Finite Sections of Some Classical Inequalities . Heidelberg: Springer, 1970. 
![{\displaystyle H_{5}={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718ae835a2f043df86af5e1b62297c00a97b0537)
![{\displaystyle {1 \over \det(H)}={{c_{2n}} \over {c_{n}^{\;4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{i \choose [i/2]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62188919f02b746d7c61ed6e15e56f2d6dd5f05e)
