史特芬十四面體

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史特芬十四面體
史特芬十四面體
可局部活動的史特芬十四面體
類別彈性多面體
對偶多面體（未知）
性質
面14
邊21
頂點9
歐拉特徵數F=14, E=21, V=9 （χ=2）
組成與佈局
面的種類14個三角形
特性
彈性
圖像

（展開圖）

史特芬十四面體是一種彈性多面體，由克勞斯·史特芬（德語：Klaus Steffen）於1978年發現[1][2]:244-247[3]。這種多面體基於布里卡爾八面體但沒有自相交的面[4]。這個多面體一共有14個三角形面，是最簡單的由非相交面組成的彈性多面體。[5]其遵循強風箱猜想（strong bellows conjecture），這意味著其登不變量（英語：Dehn invariant）在形變過程皆保持不變。[6]

性質[編輯]

史特芬十四面體由14個面、21條邊和9個頂點組成。其6個面又可以分成2個子群：來自布里卡爾八面體的6個三角形組，以及將這些三角形組拼起來的另外兩個三角形。[7]

頂點座標[編輯]

史特芬十四面體的頂點座標為：[8]

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle p_1=\left(0,\,0,\,0\right)}
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle p_2=\left(-12,\,0,\,0\right)}
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle p_3=\left(\frac{1}{24},\,-\frac{17\sqrt{287}}{24},\,0\right)}
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle p_4=\left(x,\,r\cos\theta,\,r\sin\theta\right)}

其中解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x} 與解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle r} 可透過下列方程組得出：[8]

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \begin{cases} \left\|p_1-p_4\right\|^2=25 \\ \left\|p_2-p_4\right\|^2=100 \end{cases}}

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle p_5} 、解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle p_6} 、解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle p_7} 皆是未知數，其可由下列方程組得出：[8]

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \begin{cases} \left\|p_5-p_4\right\|^2=121 \\ \left\|p_5-p_2\right\|^2=100 \\ \left\|p_6-p_4\right\|^2=144 \\ \left\|p_6-p_1\right\|^2=100 \\ \left\|p_7-p_2\right\|^2=144 \\ \left\|p_7-p_3\right\|^2=144 \\ \left\|p_5-p_6\right\|^2=144 \\ \left\|p_6-p_7\right\|^2=100 \\ \left\|p_7-p_5\right\|^2=25 \end{cases}}

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle p_8} 、解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle p_9} 亦是未知數，分別可由下列兩組方程組得出：[8]

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \begin{cases} \left\|p_8-p_3\right\|^2=100 \\ \left\|p_8-p_6\right\|^2=144 \\ \left\|p_8-p_7\right\|^2=25 \end{cases}}
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \begin{cases} \left\|p_9-p_1\right\|^2=25 \\ \left\|p_9-p_3\right\|^2=100 \\ \left\|p_9-p_6\right\|^2=144 \end{cases}}

構成史特芬十四面體的14個三角形分別為解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \triangle{p_1} {p_2} {p_3} } 、解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \triangle{p_7} {p_3} {p_2} } 、解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \triangle{p_1} {p_4} {p_2} } 、解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \triangle{p_2} {p_4} {p_5}} 、 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \triangle{p_2} {p_5} {p_7} } 、解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \triangle{p_1} {p_6} {p_4} } 、解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \triangle{p_4} {p_6} {p_5} } 、解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \triangle{p_5} {p_6} {p_7}} 、 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \triangle{p_6} {p_8} {p_7} } 、解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \triangle{p_6} {p_9} {p_8} } 、解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \triangle{p_1} {p_9} {p_6} } 、解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \triangle{p_3} {p_7} {p_8}} 、 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \triangle{p_3} {p_8} {p_9} } 、解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \triangle{p_1} {p_3} {p_9}} 。[8]

體積[編輯]

根據風箱定理[9]，多面體的體積必為多項式的根，多項式的係數僅取決於多面體的邊長。由於邊長不會隨著多面體的變形過程改變，因此體積必須保持在多項式的有限個根之一，而不會連續變化[10]，因此史特芬十四面體在不同的變化狀態下體積皆保持不變。以上述頂點座標描述的史特芬十四面體為例，雖然其有不少頂點是可變的值，其在所有變化狀態下的體積皆為定值，其值約為200.777立方單位。[8]:6

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ Lijingjiao; et al. Optimizing the Steffen flexible polyhedron (PDF). 2015 [2021-09-09]. （原始內容存檔 (PDF)於2020-02-15）. 
  2. ^ Cromwell, P. R. Polyhedra. New York: Cambridge University Press. 1997. ISBN 978-0521664059. 
  3. ^ Mackenzie, Dana. Polyhedra can bend but not breathe. Science (American Association for the Advancement of Science). 1998, 279 (5357): 1637–1637. 
  4. ^ Connelly, Robert, Flexing surfaces, Klarner, David A.（英語：David A. Klarner） (編), The Mathematical Gardner, Springer: 79–89, 1981, ISBN 978-1-4684-6688-1, doi:10.1007/978-1-4684-6686-7_10 .
  5. ^ Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172 
  6. ^ Alexandrov, Victor, The Dehn invariants of the Bricard octahedra, Journal of Geometry, 2010, 99 (1-2): 1–13, MR 2823098, arXiv:0901.2989 可免費查閱, doi:10.1007/s00022-011-0061-7 .
  7. ^ Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge, Mathematical Omnibus: Thirty lectures on classic mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society: 354, 2007 [2021-09-09], ISBN 978-0-8218-4316-1, MR 2350979, doi:10.1090/mbk/046, （原始內容存檔於2017-03-03） .
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Mark McClure. Steffen's polyhedron (PDF). marksmath.org. [2021-09-09]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-10-06）. 
  9. ^ Gaĭfullin, A. A.; Ignashchenko, L. S., Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 2018, 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, ISBN 5-7846-0147-4, MR 3894642, doi:10.1134/S0371968518030068 
  10. ^ Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172 

外部連結[編輯]

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