折纸公理

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折纸公理,又称藤田-羽鳥公理藤田-贾斯汀公理,是折纸数学的基本公理。假定所有折纸操作均在理想的平面上进行,并且所有折痕都是直线,那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作。

折纸定理最早於1989年由雅克·贾斯汀(Jacques Justin)发现[1]。截至目前為止,共推衍了6個公理,其中,公理1-6又于1991年由意大利数学家藤田文章发现[2]。定理7也于2001年由羽鳥公士郎发现。贾斯汀和罗伯特·朗(Robert J. Lang)也同样发现了公理7。

七个公理[编辑]

前6个公理又叫做藤田公理,公理7由羽鳥公士郎发现,贾斯汀和罗伯特·朗(Robert J. Lang)也同样发现了公理7。7条公理如下:

  1. 给定两点 p_1p_2有且仅有一条折痕同时过这两点。
  2. 给定两点 p_1p_2,有且仅有一种方法把 p_1 折到 p_2 上。
  3. 给定两直线 l_1l_2,可以把 l_1 折到 l_2 上。
  4. 给定一点 p_1 和一条直线 l_1,有且仅有一种方法过 p_1 折出 l_1 的垂线。
  5. 给定两点 p_1p_2 和一条直线 l_1,可以沿过 p_2 的直线将 p_1 折到 l_1 上。
  6. 给定两点 p_1p_2 和两直线 l_1l_2,可以一次将 p_1p_2 分别折到 l_1l_2 上。
  7. 给定一点 p 和两直线 l_1l_2,可以沿着 l_2 的垂线将 p_1 折到 l_1 上。

公理5可能有最多2个解,公理6可能有最多3个解,而尺规作图的公理最多只有两个解。所以,折纸的作图能力要强于尺规作图。就是说,尺规作图相当于在解二次方程,而折纸几何相当于解三次方程。因而诸如三等分角倍立方等尺规作图无法解决的问题却可以用折纸几何解决。但是公理6在实践中需要将纸“滑动”,这其实相当于二刻尺作图,这在标准的尺规作图中是不被允许的。

罗伯特·朗证明了这七个公理已经是折纸几何的全部公理了。

公理 1[编辑]

给定两点 p_1p_2有且仅有一条折痕同时过这两点。

过平面上两点对折

以参数方程表示的话,过2点的直线可以表示为:

F(s)=p_1 +s(p_2 - p_1).

公理 2[编辑]

给定两点 p_1p_2,有且仅有一种方法把 p_1 折到 p_2 上。

将一点折往另一点

这条公理相当于是作线段 \overline{p_1 p_2}垂直平分线。这可以通过以下四个步骤完成:

  • 使用公理1作出连结 p_1p_2 的直线 P(s)=p_1+s(p_2-p_1)
  • 找到直线 P(s)中点 p_{mid}
  • 找到垂直于 P(s)向量 \mathbf{v_{perp}}
  • 折痕的参数方程表示为:
F(s)=p_\mathrm{mid} + s\cdot\mathbf{v}_{\mathrm{perp}}.

公理 3[编辑]

给定两直线 l_1l_2,可以把 l_1 折到 l_2 上。

将一条线折到另一条上

这条公理相当于是找出 l_1l_2 组成的角的平分线。假设 p_1p_2l_1 上任意两点,q_1q_2l_2 上任意两点,\mathbf{u}\mathbf{v} 分别是 l_1l_2 方向的单位向量:

\mathbf{u} = (p_2-p_1) / \left|(p_2-p_1)\right|
\mathbf{v} = (q_2-q_1) / \left|(q_2-q_1)\right|.

如果两直线不平行,它们的交点为:

p_\mathrm{int} = p_1+s_\mathrm{int}\cdot\mathbf{u}

其中

s_{int} = -\frac{\mathbf{v}_{\perp} \cdot (p_1 - q_1)} {\mathbf{v}_{\perp} \cdot \mathbf{u}}.

两条直线所夹的一个角的平分线方向是:

\mathbf{w} = \frac{
\left|\mathbf{u}\right| \mathbf{v} +
\left|\mathbf{v}\right| \mathbf{u}}
{\left|\mathbf{u}\right| +
\left|\mathbf{v}\right|}.

折痕的参数方程是:

F(s) = p_\mathrm{int} + s\cdot\mathbf{w}.

这两直线还有另一个角平分线,两条角平分线互相垂直,且都过点 p_{int}。而沿着任意一条角平分线折都能将 l_1 折到 l_2 上。但在实践中可能因为交点的位置(比如交点在纸外)使沿着其中一条角平分线的折叠无法实施。

如果两条直线平行,那么只要沿着两直线中间的一条线(与两直线平行,到两直线距离相等)折叠就可以将 l_1 折到 l_2

公理 4[编辑]

给定一点 p_1 和一条直线 l_1,有且仅有一种方法过 p_1 折出 l_1 的垂线。

过一点折一条直线的垂线

向量 \mathbf{v} 是垂直于 l_1 的单位向量,那么折痕的参数方程是:

F(s) = p_1 + s\cdot\mathbf{v}.

公理 5[编辑]

给定两点 p_1p_2 和一条直线 l_1,可以沿过 p_2 的直线将 p_1 折到 l_1 上。

将一点沿着过另一点的直线折到一条直线上

这个公理相当于找出和直线的交点,所以有最多2个解,最少也可能无解。这取决于直线 l_1 和以p_2 为圆心,p_2p_1 的距离为半径的圆的位置关系。如果直线和圆不相交则无解,相切则有1解,相交则有2解.

如果我们知道直线上两点 (x_1,y_1)(x_2,y_2),那么直线可以表示为:

x = x_1 + s(x_2 - x_1)\,
y = y_1 + s(y_2 - y_1).\,

如果圆心 p_2=(x_c,y_c),半径 r = \left|p_1 - p_2\right|。那么这个圆可以表示为:

(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = r^2.\,

为了确定圆和直线的交点,将直线方程代入圆方程,得:

(x_1 + s(x_2-x_1) - x_c)^2 + (y_1 + s(y_2 - y_1) - y_c)^2 = r^2.\,

或者可以简化为:

as^2 + bs + c = 0\,

其中:

a = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\,
b = 2(x_2 - x_1)(x_1 - x_c) + 2(y_2 - y_1)(y_1 - y_c)\,
c = x_c^2 + y_c^2 + x_1^2 + y_1^2 - 2(x_c x_1 + y_c y_1)-r^2.\,

然后,只要解以下方程就能确定直线和圆的交点:

\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

如果判别式 b^2-4ac<0,那么方程无实数解,圆和直线没有交点;如果辨别式等于0,那么方程有一解,圆和直线相切;如果辨别式大于0,方程有两解,圆和直线有两个交点。令d_1d_2 是两个交点(如果存在),那么,我们可以得到线段如下:

m_1 = \overline{p_1 d_1} \,
m_2 = \overline{p_1 d_2}. \,

折痕 F_1(s) 垂直平分 m_1,可以将 p_1 折到 d_1。同样,折痕 F_2(s) 垂直平分 m_2,可以将 p_1 折到 d_2。只要应用公理2就可以找到垂直平分线。折痕的参数方程是:


\begin{align}
F_1(s) & = p_1 +\frac{1}{2}(d_1-p_1)+s(d_1-p_1)_\perp \\[8pt]
F_2(s) & = p_1 +\frac{1}{2}(d_2-p_1)+s(d_2-p_1)_\perp.
\end{align}

公理 6[编辑]

给定两点 p_1p_2 和两直线 l_1l_2,可以一次将 p_1p_2 分别折到 l_1l_2 上。

Huzita axiom 6.png

这个公理相当于找到同时与两条抛物线相切的直线,等价于解一个三次方程。两条抛物线的焦点分别是 p_1p_2,准线分别是 l_1l_2

公理 7[编辑]

给定一点 p 和两直线 l_1l_2,可以沿着 l_2 的垂线将 p_1 折到 l_1 上。

Huzita-Hatori axiom 7.png

p 点作 l_2 的平行线,交 l_1q,这个公理就是要找出线段 \overline{p q} 的垂直平分线。沿着这条垂直平分线折,就可以将 p 折到 q 上。

参考资料[编辑]

  1. ^ Justin, Jacques, "Resolution par le pliage de l'equation du troisieme degre et applications geometriques", reprinted in Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology, H. Huzita ed. (1989), pp. 251–261.
  2. ^ Humiaki Huzita, “Understanding Geometry through Origami Axioms”, The First International Conference on Origami in Education and Therapy (COET91) (1991)

外部链接[编辑]