亨泽尔引理

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

亨泽尔引理数学模算术的一個结论。亨泽尔引理说明,如果一个pp是给定的质数)的多项式方程有一个单根,则可以通过这个根求出该方程在模p的更高次方时的根。在完备交换环(包括p进数)中,亨泽尔引理被看作是类似于牛顿法的渐进求根方法。由于p进数分析在某些方面比实分析更加简单,亨泽尔引理可以加强为多项式方程有根的判定方法。

定理内容[编辑]

係數多項式為不少於2的整數,質數。若整數是下面同餘式的根:

對於

(I)

,則有:

  • ,則存在唯一的整數使得(I)成立。
  • ,則(I)對任意整數t成立。
  • ,則(I)無整數解。

證明[编辑]

Hensel引理可用泰勒公式證明。

因此可見,由第三項開始,都必能被整除。因此:

推廣[编辑]

為完備局域。設 的整數環,設為係數在 的多項式,若存在 使得

有根

且:

  1. 趨近

這個引理其中一個重要應用就是在域為p進數的情形。

參考[编辑]