亨澤爾引理

亨澤爾引理（英語：Hensel's Lemma）是數學中模算術的一個結論。亨澤爾引理說明，如果一個模 $p$ （ $p$ 是給定的質數）的多項式方程有一個單根，則可以通過這個根求出該方程在模 $p$ 的更高次方時的根。在完備交換環（包括p進數）中，亨澤爾引理被看作是類似於牛頓法的漸進求根方法。由於p進數分析在某些方面比實分析更加簡單，亨澤爾引理可以加強為多項式方程有根的判定方法。

定理內容

設 $f(x)$ 為整係數多項式， $k$ 為不少於2的整數， $p$ 為質數。若整數 $r$ 是下面同餘式的根：

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k-1}}}.

對於

f(r+tp^{k-1})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

（I）

，則有：

若 $f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}$ ，則存在唯一的整數 $0\leq t\leq p-1$ 使得（I）成立。

tf'(r)\equiv -(f(r)/p^{k-1}){\pmod {p}}.\,

若 $f'(r)\equiv 0{\pmod {p}}$ 且 $f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}$ ，則（I）對任意整數t成立。
若 $f'(r)\equiv 0{\pmod {p}}$ 但 $f(r)\not \equiv 0{\pmod {p^{k}}}$ ，則（I）無整數解。

證明

亨澤爾引理可用泰勒公式證明。

f(r+tp^{k-1})=f(r)+tp^{k-1}f'(r)+{\frac {1}{2}}t^{2}p^{2(k-1)}f''(r)+{\frac {1}{6}}t^{3}p^{3(k-1)}f'''(r)+...

因此可見，由第三項開始，都必能被 $p^{k}$ 整除。因此：

f(r+tp^{k-1})\equiv f(r)+tp^{k-1}f'(r){\pmod {p^{k}}}

推廣

若 $K$ 為完備局域。設 ${\mathcal {O}}_{K}$ 為 $K$ 的整數環，設 $f(x)$ 為係數在 ${\mathcal {O}}_{K}$ 的多項式，若存在 $\alpha _{0}\in {\mathcal {O}}_{K}$ 使得

|f(\alpha _{0})|<|f'(\alpha _{0})|^{2}

則 $f(x)$ 有根 $\alpha \in K$ 。

且：

$\alpha _{i+1}=\alpha _{i}-{\frac {f(\alpha _{i})}{f'(\alpha _{i})}}$ 趨近 $\alpha$
$|\alpha -\alpha _{0}|\leq |{\frac {f(\alpha _{i})}{f'(\alpha _{i})}}|<1$

這個引理其中一個重要應用就是在域為p進數的情形。

參考