亨泽尔引理

亨泽尔引理（英语：Hensel's Lemma）是数学中模算术的一个结论。亨泽尔引理说明，如果一个模 $p$ （ $p$ 是给定的质数）的多项式方程有一个单根，则可以通过这个根求出该方程在模 $p$ 的更高次方时的根。在完备交换环（包括p进数）中，亨泽尔引理被看作是类似于牛顿法的渐进求根方法。由于p进数分析在某些方面比实分析更加简单，亨泽尔引理可以加强为多项式方程有根的判定方法。

定理内容

设 $f(x)$ 为整系数多项式， $k$ 为不少于2的整数， $p$ 为质数。若整数 $r$ 是下面同余式的根：

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k-1}}}.

对于

f(r+tp^{k-1})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

（I）

，则有：

若 $f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}$ ，则存在唯一的整数 $0\leq t\leq p-1$ 使得（I）成立。

tf'(r)\equiv -(f(r)/p^{k-1}){\pmod {p}}.\,

若 $f'(r)\equiv 0{\pmod {p}}$ 且 $f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}$ ，则（I）对任意整数t成立。
若 $f'(r)\equiv 0{\pmod {p}}$ 但 $f(r)\not \equiv 0{\pmod {p^{k}}}$ ，则（I）无整数解。

证明

亨泽尔引理可用泰勒公式证明。

f(r+tp^{k-1})=f(r)+tp^{k-1}f'(r)+{\frac {1}{2}}t^{2}p^{2(k-1)}f''(r)+{\frac {1}{6}}t^{3}p^{3(k-1)}f'''(r)+...

因此可见，由第三项开始，都必能被 $p^{k}$ 整除。因此：

f(r+tp^{k-1})\equiv f(r)+tp^{k-1}f'(r){\pmod {p^{k}}}

推广

若 $K$ 为完备局域。设 ${\mathcal {O}}_{K}$ 为 $K$ 的整数环，设 $f(x)$ 为系数在 ${\mathcal {O}}_{K}$ 的多项式，若存在 $\alpha _{0}\in {\mathcal {O}}_{K}$ 使得

|f(\alpha _{0})|<|f'(\alpha _{0})|^{2}

则 $f(x)$ 有根 $\alpha \in K$ 。

且：

$\alpha _{i+1}=\alpha _{i}-{\frac {f(\alpha _{i})}{f'(\alpha _{i})}}$ 趋近 $\alpha$
$|\alpha -\alpha _{0}|\leq |{\frac {f(\alpha _{i})}{f'(\alpha _{i})}}|<1$

这个引理其中一个重要应用就是在域为p进数的情形。

参考