匈牙利算法

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匈牙利算法是众多用于解决线性任务分配问题的算法之一,是用来解决二分图最大匹配问题的经典算法,可以在多项式时间内解决问题,由美国数学家Harold Kuhn 于1955年提出。此算法之所以被称作匈牙利算法是因为算法很大一部分是基于以前匈牙利数学家Dénes Kőnig和Jenő Egerváry的工作之上建立起来的.

问题简介[编辑]

设G=(V,E)是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集V1,V2之并,并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个不同的子集。则称图G为二分图。二分图也可记为G=(V1,V2,E)。

给定一个二分图G,在G的一个子图M中,M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称M是一个匹配。 选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)

如果图的所有顶点都与某匹配中的一条边相关联,则称此匹配为完全匹配,也称作完备完美匹配

算法描述[编辑]

  求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配,然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。因此,需要寻求一种更加高效的算法。下面介绍用增广路求最大匹配的方法(称作匈牙利算法,由数学家Harold Kuhn于1955年提出)。

  增广路的定义(也称增广轨交错轨):

  若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径,并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现,则称P为相对于M的一条增广路径。(M为一个匹配)

  由增广路的定义可以推出下述三个结论:

  1-P的路径长度必定为奇数,第一条边和最后一条边都不属于M。

  2-将M和P进行异或操作(去同存异)可以得到一个更大的匹配M’。

  3-M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。

  算法轮廓:

  (1)置M为空

  (2)找出一条增广路径P,通过异或操作获得更大的匹配M’代替M

  (3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止

时间空间复杂度[编辑]

  时间复杂度 邻接矩阵:最坏为O(n^3) 邻接表:O(mn)   空间复杂度 邻接矩阵:O(n^2) 邻接表:O(m+n)

相关代码[编辑]