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克鲁斯克尔演算法

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克鲁斯克尔演算法
克鲁斯克尔算法的图解
概况
類別最小生成树
資料結構并查集
复杂度
平均時間複雜度
空間複雜度
相关变量的定义

Kruskal演算法是一種用來尋找最小生成樹的演算法[1],由Joseph Kruskal在1956年發表[2]。用來解決同樣問題的還有Prim演算法Boruvka演算法英语Borůvka's algorithm等。三種演算法都是贪心算法的應用。和Boruvka演算法不同的地方是,Kruskal演算法在圖中存在相同權值的邊時也有效。

步骤[编辑]

  1. 新建图中拥有原图中相同的节点,但没有边
  2. 将原图中所有的边按权值从小到大排序
  3. 从权值最小的边开始,如果这条边连接的两个节点于图中不在同一个连通分量中,则添加这条边到图
  4. 重複3,直至图中所有的节点都在同一个连通分量中

证明[编辑]

  1. 这样的步骤保证了选取的每条边都是桥,因此图构成一个树。
  2. 为什麽这一定是最小生成树呢?关键还是步骤3中对边的选取。演算法中总共选取了条边,每条边在选取的当时,都是连接两个不同的连通分量的权值最小的边
  3. 要证明这条边一定属于最小生成树,可以用反证法:如果这条边不在最小生成树中,它连接的两个连通分量最终还是要连起来的,通过其他的连法,那麽另一种连法与这条边一定构成了环,而环中一定有一条权值大于这条边的边,用这条边将其替换掉,图仍旧保持连通,但总权值减小了。也就是说,如果不选取这条边,最后构成的生成树的总权值一定不会是最小的。

時間複雜度[编辑]

平均时间复杂度为,其中分别是图的边集和点集。

示例[编辑]

图例 说明
Kruskal Algorithm 1.svg ADCE是最短的两条边,长度为5,其中AD被任意选出,以高亮表示。
Kruskal Algorithm 2.svg 现在CE是不属于环的最短边,长度为5,因此第二个以高亮表示。
Kruskal Algorithm 3.svg 下一条边是长度为6的DF,同样地以高亮表示。
Kruskal Algorithm 4.svg 接下来的最短边是ABBE,长度均为7。AB被任意选中,并以高亮表示。边BD用红色高亮表示,因为BD之间已经存在一条(标为绿色的)路径,如果选择它将会构成一个环(ABD)。
Kruskal Algorithm 5.svg 以高亮表示下一条最短边BE,长度为7。这时更多的边用红色高亮标出:会构成环BCEBC、会构成环DBEADE以及会构成环FEBADFE
Kruskal Algorithm 6.svg 最终,标记长度为9的边EG,得到最小生成树,结束算法过程。

伪代码[编辑]

KRUSKAL-FUNCTION(G, w)
1    F := 空集合
2    for each 图 G 中的顶点 v
3        do 將 v 加入森林 F
4    所有的边(u, v) ∈ E依权重 w 递增排序
5    for each 边(u, v) ∈ E
6        do if u 和 v 不在同一棵子树
7            then F := F ∪ {(u, v)}
8                將 u 和 v 所在的子树合并

参考文献[编辑]

  1. ^ Cormen, Thomas; Charles E Leiserson, Ronald L Rivest, Clifford Stein. Introduction To Algorithms Third. MIT Press. 2009: 631. ISBN 978-0262258104. 
  2. ^ Kruskal, J. B. On the shortest spanning subtree of a graph and the traveling salesman problem. Proceedings of the American Mathematical Society. 1956, 7 (1): 48–50. JSTOR 2033241. doi:10.1090/S0002-9939-1956-0078686-7.